Axioma do supremo

Seja um conjunto ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} \,}$ limitado à direita, ou seja, existe ${\displaystyle M\in \mathbb {R} \,}$ tal que:

${\displaystyle x\in S\Longrightarrow x\leq M\,}$

Então existe um número real s denominado supremo de S, denotado ${\displaystyle s=\sup S\,}$ tal que:

1. ${\displaystyle x\in S\Longrightarrow x\leq s\,}$
2. Se ${\displaystyle y\,}$ tem a propriedade (1), então ${\displaystyle x\leq y\,}$.