Cardinais regulares e singulares

Se abreviarmos cofinalidade de ${\displaystyle x}$ como ${\displaystyle {\mbox{cf}}(x)}$, podemos generalizar a definição acima para ordinais dizendo que ${\displaystyle \alpha }$ é regular se ${\displaystyle {\mbox{cf}}(\alpha )=\alpha }$ e singular se ${\displaystyle {\mbox{cf}}(\alpha )<\alpha }$, pois ${\displaystyle {\mbox{cf}}(\alpha )}$ ≤ ${\displaystyle \alpha }$ vale para todo ordinal.[2] De maneira equivalente, podemos definir que um cardinal ${\displaystyle \kappa }$ é singular se resulta da união de uma quantidade menor que ${\displaystyle \kappa }$ de conjuntos cada um dos quais tem também cardinalidade menor que ${\displaystyle \kappa }$:

${\displaystyle \kappa =\bigcup _{\alpha <\beta }(A_{\alpha }){\mbox{ tais que }}\beta <\kappa {\mbox{ e }}\left|A_{\alpha }\right|<\kappa {\mbox{ para cada }}\alpha <\beta }$[3]

Por exemplo, ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ é singular pois:

${\displaystyle \aleph _{\omega }=\bigcup _{n<\omega }\aleph _{n}=\aleph _{0}\cup \aleph _{1}\cup \dots \cup \aleph _{n}\cup \dots \;\;}$ [4]

ou seja, ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ é a união de ${\displaystyle \omega =\aleph _{0}}$ conjuntos, cada um dos quais tem cardinalidade menor que ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$.

Por outro lado, ${\displaystyle \omega }$ é regular, pois ${\displaystyle {\mbox{cf}}(\omega )=\omega }$.[5] Além disso, a união de uma quantidade finita de conjuntos finitos é um conjunto finito.[6]

Na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha, denominada ZFC, pode ser demonstrado que a união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável[7] e portanto ${\displaystyle \aleph _{1}}$ é regular. Sem o axioma da escolha, ${\displaystyle {\mbox{cf}}(\aleph _{1})=\omega }$[5] (que implica que ${\displaystyle \aleph _{1}}$ é singular) é consistente com ZF, se ZF é consistente.

Em ZFC é demonstrado que todo cardinal da forma ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}$ (denominado cardinal sucessor) é regular.[8] Um cardinal infinito que não é sucessor é denominado cardinal limite e em ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ temos que ${\displaystyle \alpha ={\mbox{0}}}$ ou ${\displaystyle \alpha }$ é um ordinal limite.[9] Em ZFC não pode ser demonstrada a existência de cardinais limites regulares diferentes de ${\displaystyle \omega }$,[10] se ZFC é consistente.[11]

• Hrbacek, Karen; Jech, Thomas (1999). Introduction to set theory (em inglês) 3a. ed. New York: Marcel Dekker A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)

• Jech, Thomas (1999). «About the Axiom of Choice». In: Barwise, Jon. Handbook of mathematical logic (em inglês). Amsterdam: Elsevier. p. 345−370

• Jech, Thomas (2006). Set theory (em inglês) 3a. ed. Berlin: Springer. ISBN 3-540-44085-2

• Kunen, Kenneth (1980). Set theory: an introduction to independence proofs (em inglês). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-86839-9

• Levy, Azriel (2002). Basic set theory (em inglês). Mineola, New York: Dover