Classe tracial

Seja ${\displaystyle H\,}$ um espaço de Hilbert separável e ${\displaystyle \{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }\,}$ uma família ortonormal densa em ${\displaystyle H\,}$. Um operador ${\displaystyle A:H\to H\,}$ é dito ser de classe tracial se a série converge:[1]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\|Ae_{k}\|\,}$

O traço de ${\displaystyle A\,}$, é então, definido como:[1]

${\displaystyle {\hbox{tr}}(A)=\sum _{k=1}^{\infty }\langle Ae_{k},e_{k}\rangle \,}$

Esta série é absolutamente convergente pois:

${\displaystyle \left|\langle Ae_{k},e_{k}\rangle \right|\leq \|Ae_{k}\|\cdot \|e_{k}\|=\|Ae_{k}\|\,}$

• Todo operador classe tracial é também um operador compacto.
• O traço independe da escolha da base.[1]