Condição de contorno de Dirichlet

Em matemática, a condição de contorno de Dirichlet (ou de primeiro tipo) é um tipo de condição de contorno, nomeada em homenagem a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)[1]. Quando aplicada sobre uma equação diferencial ordinária ou parcial, especifica os valores que uma solução necessita tomar no contorno do domínio. A questão de encontrar-se soluções para tais equações é conhecida como problema de Dirichlet.

No caso de uma equação diferencial ordinária tal como:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+3y=1}$

no intervalo [0,1] as condições de contorno de Dirichlet tomam a forma:

${\displaystyle y(0)=\alpha _{1}\,}$

${\displaystyle y(1)=\alpha _{2}\,}$

onde α₁ e α₂ são números dados.

Para uma equação diferencial parcial num domínio Ω⊂ℝⁿ tal como:

${\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0\,}$

onde ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ denota o Laplaciano, a condição de contorno de Dirichlet toma a forma:

${\displaystyle y(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega }$

onde f é uma função conhecida definida no contorno ∂Ω.

Condições de contorno de Dirichlet são talvez as mais fáceis de serem entendidas, mas existem muitas outras condições possíveis. Por exemplo, há a condição de contorno de Cauchy ou condição de contorno mista que é uma combinação das condições de Dirichlet e Neumann.