Condições de Inada

Em macroeconomia, as condições de Inada, assim nomeadas em homenagem ao economista japonês Ken-Ichi Inada,[1] são pressupostos sobre a forma de uma função de produção que garante a estabilidade de uma trajetória de crescimento econômico em um modelo de crescimento neoclássico. As condições como tais foram introduzidas por Hirofumi Uzawa.[2]

Dada uma função continuamente diferenciável ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, Onde ${\displaystyle {\displaystyle X=\left\{x\colon \,x\in \mathbb {R} _{+}^{n}\right\}}}$ e ${\displaystyle {\displaystyle Y=\left\{y\colon \,y\in \mathbb {R} _{+}\right\}}}$, as condições são:

1. O valor da função ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ quando ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$ é 0: ${\displaystyle {\displaystyle f(\mathbf {0} )=0}}$
2. A função é côncava em ${\displaystyle X}$, ou seja, a matriz hessiana ${\displaystyle {\displaystyle \mathbf {H} _{i,j}=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)}}$, precisa ser semi-definida negativa.[3] Economicamente, isso implica que os retornos marginais de entrada ${\displaystyle x_{i}}$são positivos, ou seja, ${\displaystyle {\displaystyle \partial f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}>0}}$ e derivando parcialmente, obtêm-se: ${\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}^{2}<0}}$.
3. O limite da primeira derivada é positivo infinito quando ${\displaystyle x_{i}}$ tende a zero: ${\displaystyle {\displaystyle \lim _{x_{i}\to 0}\partial f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}=+\infty }}$,
4. O limite da primeira derivada é igual a zero quando ${\displaystyle x_{i}}$ tende ao infinito positivo: ${\displaystyle {\displaystyle \lim _{x_{i}\to +\infty }\partial f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}=0}}$

Na classe de função de produção CES, apenas a função de produção Cobb-Douglas atende a todas essas condições.