Desigualdade de Pedoe

Em Geometria, a desigualdade de Pedoe, assim chamada após Daniel Pedoe[1], afirma que se a, b, e c são as medidas dos lados de um triângulo de área ƒ, e A, B, e C são as medidas dos lados de um triângulo de área F, então

${\displaystyle A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16Ff,\,}$

com a igualdade se e somente se os dois triângulos são semelhantes.[2]

A expressão à esquerda não é apenas simétrica em qualquer uma das seis permutações sobre o conjunto de pares { (A, a), (B, b), (C, c) }, mas também — talvez não tão obviamente — permanece o mesmo se a é trocado (permutado) com A, b com B, c com  C. Em outras palavras, é uma função simétrica do par de triângulos.

A desigualdade de Pedoe é uma generalização da desigualdade de Weitzenböck e da desigualdade de Hadwiger–Finsler.