Equicontinuidade

Seja ${\displaystyle \Lambda \,}$ uma família de índices e ${\displaystyle \{f_{\lambda },\lambda \in \Lambda \}\,}$ uma família de funções contínuas ${\displaystyle f_{\lambda }:D\to \mathbb {R} \,}$. Como cada função ${\displaystyle f_{\lambda }\,}$ é contínua, podemos dizer que:

${\displaystyle \forall \lambda \in \Lambda ,\forall x\in D,\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:\left(|x-y|<\delta \Longrightarrow |f_{\lambda }(x)-f_{\lambda }(y)|<\varepsilon \right)\,}$

Dizemos que família é equicontínua se a escolha do ${\displaystyle \delta \,}$ puder ser feita independentemente do ${\displaystyle \lambda \,}$, ou seja:

${\displaystyle \forall x\in D,\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:\forall \lambda \in \Lambda ,\left(|x-y|<\delta \Longrightarrow |f_{\lambda }(x)-f_{\lambda }(y)|<\varepsilon \right)\,}$

• Teorema de Arzelà-Ascoli