Fórmulas de Newton-Cotes

Assume-se que o valor da função ƒ, definida entre [a, b] é conhecido, em pontos x_i entre i = 0, …, n igualmente espaçados, onde x₀ = a e x_n = b. Existem dois tipos de Fórmulas Newton–Cotes, as "fechadas" que utilizam o valor da função em todos os pontos, e as "abertas", que não utilizam os valores da função nas extremidades. A fórmula de Newton–Cotes, de grau n é definida como:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i})}$

Onde x_i = h i + x₀, com h (tamanho do passo) igual a (x_n − x₀) / n = (b − a) / n. Os w_i são chamados de pesos.

Como demonstrado na derivação seguinte, os pesos são derivados das bases polinomiais de Lagrange. Isto significa que eles dependem apenas de x_i e não da função ƒ. Sendo L(x) a interpolação polinomial em Lagrange para os pontos dados (x₀, ƒ(x₀) ), …, (x_n, ƒ(x_n) ), então:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}{\bigl (}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x){\bigr )}\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.}$

A fórmula de Newton-Cotes aberta, de grau n é definida como:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n-1}w_{i}\,f(x_{i}).}$

Os pesos são encontrados de maneira similar á fórmula fechada.

Uma fórmula de Newton-Cotes de qualquer grau n pode ser construída. Porém, para n elevados, a regra de Newton-Cotes pode sofrer do Fenômeno de Runge, onde erros aumentam exponencialmente para n elevados. Métodos como a Quadratura Gaussiana e a Quadratura de Clenshaw-Curtis com pontos espaçados de maneira desigual (acumulados nas extremidades do intervalo de integração) são estáveis e muito mais precisos, e são geralmente escolhidos no lugar de Newton-Cotes. Se estes métodos não podem ser utilizados, porque o integrante é dado em uma grade igualmente distribuída, o Fenômeno de Rungue pode ser evitado utilizando a regra composta, como explicado a seguir.

Esta tabela lista algumas das Fómulas de Newton-Cotes do tipo fechadas. A notação ${\displaystyle f_{i}}$ é a abreviação de ${\displaystyle f(x_{i})}$, com x_i = a + i (b − a) / n,, e n graus.

Fórmulas de Newton–Cotes Fechadas

Grau	Nome usual	Fórmula	Termo de erro
1	Regra do Trapézio	${\displaystyle {\frac {b-a}{2}}(f_{0}+f_{1})}$	${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )}$
2	Regra de Simpson	${\displaystyle {\frac {b-a}{6}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})}$	${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}\,f^{(4)}(\xi )}$
3	Regra 3/8 de Simpson	${\displaystyle {\frac {b-a}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})}$	${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}\,f^{(4)}(\xi )}$
4	Regra de Boole	${\displaystyle {\frac {b-a}{90}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})}$	${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{7}}{1935360}}\,f^{(6)}(\xi )}$

O expoente do segmento de tamanho b - a no termo de erro mostra a taxa com a qual o erro de aproximação diminui. A derivada de ƒ no termo do erro mostra que polinômios podem ser integrados exatamente (por exemplo, com erro igual a zero). Note que a derivada de ƒ no termo do erro aumenta em 2 para cada outra regra. O número ${\displaystyle \xi }$ está entre a e b.

Esta tabela lista algumas das fórmulas de Newton-Cotes do tipo abertas. Novamente, 'ƒi é abreviação de ƒ(xi), com xi = a + i (b − a) / n, de n graus.

Fórmulas de Newton–Cotes Abertas

Nome usual	Tamanho do passo	Fórmula	Termo do erro	Grau
Método Retangular	${\displaystyle {\frac {b-a}{2}}}$	${\displaystyle (b-a)f_{1}\,}$	${\displaystyle {\frac {(b-a)^{3}}{24}}\,f^{(2)}(\xi )}$	2
Método do Trapezio	${\displaystyle {\frac {b-a}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {b-a}{2}}(f_{1}+f_{2})}$	${\displaystyle {\frac {(b-a)^{3}}{36}}\,f^{(2)}(\xi )}$	3
Regra de Milne	${\displaystyle {\frac {b-a}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {b-a}{3}}(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})}$	${\displaystyle {\frac {7(b-a)^{5}}{23040}}f^{(4)}(\xi )}$	4
Sem nome	${\displaystyle {\frac {b-a}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {b-a}{24}}(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})}$	${\displaystyle {\frac {19(b-a)^{5}}{90000}}f^{(4)}(\xi )}$	5

Para que as regras de Newton-Coles sejam precisas, o tamanho de passo h precisa ser pequeno, o que significa que o intervalo de integração ${\displaystyle [a,b]}$, deve ser pequeno, comportamento que não se observa na maioria das vezes. Por esta razão, usualmente se realiza uma integração numérica, dividindo ${\displaystyle [a,b]}$ em subintervalos menores, aplicando a regra de Newton-Cotes em cada subintervalo, e somando os resultados. Isto é chamado de Regra composta, veja Análise Numérica.

• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulae, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.)
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 4.1. Classical Formulas for Equally Spaced Abscissas», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, ISBN 978-0-521-88068-8 3rd ed. , New York: Cambridge University Press
• Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.)

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Newton-Cotes quadrature formula», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer
• Newton–Cotes formulae on www.math-linux.com
• Newton–Cotes Formulae^{[ligação inativa]}
• Weisstein, Eric W. «Newton-Cotes Formulae» (em inglês). MathWorld
• Module for Newton–Cotes Integration, fullerton.edu
• Newton–Cotes Integration, numericalmathematics.com