Fecho reflexivo

O fecho reflexivo S de uma relação R num conjunto A é dado por:

${\displaystyle S=R\cup \left\{(x,x):x\in A\right\}}$

Por outras palavras, o fecho reflexivo de R é obtido pela união de R com a relação identidade em A.

• Dado o conjunto ${\displaystyle A=\left\{1,2,3\right\},}$ seja B a relação definida em A por ${\displaystyle B=\left\{(1,1),(1,2),(2,3)\right\}.}$

O fecho reflexivo ${\displaystyle B_{r}}$ desta relação é dado por ${\displaystyle B\cup \left\{(1,1),(2,2),(3,3)\right\},}$ ou seja, ${\displaystyle B_{r}=\left\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)\right\}.}$

• Seja o conjunto ${\displaystyle L=\left\{a,b,c\right\}}$ e a relação M em L tal que ${\displaystyle M=\left\{(a,a),(b,b),(c,c),(a,c)\right\}.}$

Como a relação M já é reflexiva, o seu fecho reflexivo ${\displaystyle M_{r}}$ coincide com ela própria: ${\displaystyle M_{r}=M.}$

• Considere-se a relação definida em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ por "x é menor que y". O fecho transitivo desta relação é a relação "x é menor ou igual que y".

• Fecho simétrico
• Fecho transitivo