Filtro (teoria dos conjuntos)

• Seja X um espaço topológico e ${\displaystyle x\in X\,}$. Então a coleção das vizinhanças de x é um filtro.

Analogamente, em reticulados L um filtro ${\displaystyle F^{\,}}$ é um conjunto não vazio de elementos de L definido por:

• ${\displaystyle a,b\in F\rightarrow a\wedge b\in F\,}$

• ${\displaystyle a\in F,a\leq b\rightarrow b\in F\,}$

Numa álgebras de Boole com máximo ${\displaystyle 1\!{\mbox{I}}}$ e mínimo ${\displaystyle \mathbb {O} }$, às condições anteriores são acrescentadas:

• ${\displaystyle \mathbb {O} \not \in F}$

• ${\displaystyle 1\!{\mbox{I}}\in F}$

Em álgebras de Boole, o filtro é o conceito dual do ideal.

Se um filtro ${\displaystyle F^{\,}}$ sobre ${\displaystyle A^{\,}}$ tem a forma:

${\displaystyle F=\left\{x\in A\!:x\geq a\right\}}$

com ${\displaystyle a\in A}$, então ${\displaystyle F^{\,}}$ é o filtro principal gerado por ${\displaystyle a^{\,}}$. Numa álgebra de Boole finita todo filtro é principal.

Um exemplo de filtro não principal é o "filtro de Frechet":

${\displaystyle F=\left\{x\in {\mathcal {P}}\left(\mathbb {N} \right)\!:x{\mbox{ é cofinito }}\right\}}$

Um conjunto ${\displaystyle x\subseteq \mathbb {N} }$ é denominado cofinito se o seu complemento relativo a ${\displaystyle \mathbb {N} }$ é finito, ou seja ${\displaystyle \mathbb {N} -x}$ é finito. Por exemplo:

${\displaystyle C=\left\{x\in \mathbb {N} \!:x>7\right\}}$

é cofinito, pois o seu complemento é:

${\displaystyle D=\left\{0;1;2;3;4;5;6;7\right\}}$

e ${\displaystyle \;\;D^{\,}}$ é finito.

Ver artigo principal: Ultrafiltro

Um ultrafiltro ${\displaystyle \,U^{\,}}$ é um filtro maximal, no seguinte sentido: não existe um filtro ${\displaystyle F^{\,}}$ tal que ${\displaystyle U\subset F\,}$. Por exemplo, seja ${\displaystyle A}$ um conjunto não vazio com ${\displaystyle a\in A}$:

${\displaystyle U=\left\{x\in {\mathcal {P}}\!\left(A\right)\!:a\in x\right\}}$

é um ultrafiltro. Nesse caso, ${\displaystyle U^{\,}}$ é o ultrafiltro principal, gerado por ${\displaystyle a^{\,}}$. Analogamente, se ${\displaystyle A^{\,}}$ é uma álgebra de Boole e ${\displaystyle a^{\,}}$ é um átomo em ${\displaystyle A}$, então ${\displaystyle U=\left\{x\in A\!:a\leq x\right\}}$ é o ultrafiltro principal gerado por ${\displaystyle a}$.

Usando o axioma da escolha pode ser demonstrado que o todo filtro numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ultrafiltro. Usando esse resultado, o filtro de Frechet pode ser estendido a um ultrafiltro, demonstrando a existência de ultrafiltros não principais.