Gradiente de deformação

O gradiente de deformações é o nome que recebe em mecânica de meios contínuos a matriz jacobiana da transformação que aplica a configuração inicial não deformada na configuração deformada em um determinado instante posterior.

O gradiente de deformações é útil porque a partir dele e seu inverso podem definir-se todos os tensores de deformação finitos, e a partir deles pode-se encontrar o tensor tensão através da equação constitutiva do material deformável.

Definição

Se pensamos que uma deformação é uma aplicação: $T_{D}:K\subset \mathbb {R} ^{3}\rightarrow K'\subset \mathbb {R} ^{3}$ onde K é o conjunto de pontos do espaço ocupados pelo sólido (ou meio contínuo) antes da deformação e K' o conjunto de pontos do espaço ocupados depois da deformação. Então podemos definir tensor gradiente de deformações como a derivada de T_D:[1]

\nabla \mathbf {F} =\mathbf {D} T_{D}={\begin{pmatrix}{\cfrac {\partial x}{\partial X}}&{\cfrac {\partial x}{\partial Y}}&{\cfrac {\partial x}{\partial Z}}\\{\cfrac {\partial y}{\partial X}}&{\cfrac {\partial y}{\partial Y}}&{\cfrac {\partial y}{\partial Z}}\\{\cfrac {\partial z}{\partial X}}&{\cfrac {\partial z}{\partial Y}}&{\cfrac {\partial z}{\partial Z}}\end{pmatrix}}

Onde (X, Y, Z) representam as coordenadas de um ponto genérico antes da deformação e (x, y, z) as coordenadas do mesmo ponto depois da deformação.

Referências

Philippe C. Ciarlet, Mathematical Elasticity, Vol. 1, pp. 250-251.

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[1] Philippe C. Ciarlet, Mathematical Elasticity, Vol. 1, pp. 250-251.