Identidade de Sommerfeld

A Identidade de Sommerfeld é usada na teoria de propagação de ondas:[1]

${\displaystyle {\frac {e^{ikR}}{R}}=\int \limits _{0}^{\infty }I_{0}(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}{\frac {\lambda d\lambda }{\mu }}}$

no qual

${\displaystyle \mu ={\sqrt {\lambda ^{2}-k^{2}}}}$

no qual considera-se a parte real positiva, para assegurar a convergência da integral no limite ${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$.

A função ${\displaystyle I_{0}}$ é a Função de Bessel.

Forma alternativa:[2]

${\displaystyle {\frac {e^{ik_{0}r}}{r}}=i\int \limits _{0}^{\infty }{dk_{\rho }{\frac {k_{\rho }}{k_{z}}}J_{0}(k_{\rho }\rho )e^{ik_{z}\left|z\right|}}}$

Onde

${\displaystyle \ k_{z}={\sqrt {(k_{0}-k_{\rho })}}}$

A interpretação física é de uma onda esférica decomposta pela soma de ondas cilíndricas na direção ${\displaystyle \rho }$, multiplicada por uma onda plana na direção ${\displaystyle z}$. A soma deve ser realizada para todos os números de onda ${\displaystyle k_{\rho }}$.