Lema de Fatou

Seja ${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {R} \,}$ uma seqüência de funções mensuráveis não negativas, então:

${\displaystyle \int \liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}\,}$

Defina ${\displaystyle g_{n}=\inf _{i\geq n}f_{i}(x)\,}$ e ${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }g_{n}=\liminf _{i}f_{i}(x)}$.

${\displaystyle g_{n}\,}$ formam uma seqüência não-decrescente de funções não-negativas e, portanto, pelo teorema da convergência monótona, temos:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{E}g_{n}(x)dx=\int _{E}f(x)dx\,}$

Da definição de ${\displaystyle g_{n}\,}$, temos ainda:

${\displaystyle \int _{E}g_{n}(x)dx\leq \int _{E}f_{i}(x)dx,~~\forall ~n\leq i\,}$

Tomando o ínfimo em ${\displaystyle i\,}$, vale:

${\displaystyle \int _{E}g_{n}(x)dx\leq \inf _{i\geq n}\int _{E}f_{i}(x)dx,~~\forall ~n\,}$

Passando ao limite em ${\displaystyle n\,}$, segue:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{E}g_{n}(x)dx\leq \liminf _{i\to \infty }\int _{E}f_{i}(x)dx\,}$

Como${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{E}g_{n}(x)dx=\int _{E}f(x)dx=\int _{E}\liminf _{i\to \infty }f_{i}(x)dx\,}$, temos o resultado:

${\displaystyle \int _{E}\liminf _{i\to \infty }f_{i}(x)dx\leq \liminf _{i\to \infty }\int _{E}f_{i}(x)dx\,}$

Seja ${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {R} \,}$ uma seqüência de funções mensuráveis não negativas convergindo quase-sempre para uma função ${\displaystyle f\,}$, tal que:

${\displaystyle \int _{E}f_{n}\leq K\,}$

então:

${\displaystyle \int _{E}f\leq K\,}$

• Teorema da convergência monótona
• Teorema da convergência dominada
• Convergência quase-sempre