Lemniscata de Gerono

Na geometria algébrica, a lemniscato de Gerono, ou lemniscato de Huygens, ou curva em forma de oito, é uma curva algébrica plana de grau quatro e gênero zero e é uma curva lemniscada em forma de símbolo $\infty$ ou figura oito. Tem equação:

x^{4}-x^{2}+y^{2}=0.

O lemniscato de Gerono

Foi estudado por Camille-Christophe Gerono .

Parametrização

Como a curva é do gênero zero, pode ser parametrizada por funções racionais; um meio de fazer isso é:

x={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\ y={\frac {2t(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}.

Outra representação é:

x=\cos \varphi ,\ y=\sin \varphi \,\cos \varphi =\sin(2\varphi )/2

que revela que esse lemniscato é um caso especial de uma figura de Lissajous .

A curva dupla (veja a fórmula de Plücker ), mostrada abaixo, tem, portanto, um caráter um pouco diferente. Sua equação é:

(x^{2}-y^{2})^{3}+8y^{4}+20x^{2}y^{2}-x^{4}-16y^{2}=0.

Dupla ao lemniscato de Gerono

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