Limites de integração

Pela fórmula de Newton-Leibniz, ${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$.[1]

Seja ${\displaystyle f(x)}$ uma função contínua no intervalo ${\displaystyle a\leq x\leq b}$ e ${\displaystyle u=\varphi (x)}$ uma função contínua em ${\displaystyle \alpha \leq u\leq \beta }$, onde ${\displaystyle \alpha =\varphi (a)}$ e ${\displaystyle \beta =\varphi (b)}$ e ${\displaystyle f(\varphi (x))}$ é definida e contínua no intervalo ${\displaystyle \alpha \leq u\leq \beta }$, então[3]

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(\varphi (x))\varphi '(x)dx=\int _{\alpha }^{\beta }f(u)du}$

A integral é imprópria, pois ${\displaystyle a=0}$ e ${\displaystyle F(x)=-x^{-1}}$ é indefinida nesse ponto.

Limites de integração também podem ser definidos para integrais impróprias, com os limites de integração de ambos[3]

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a^{+}}\int _{z}^{b}f(x)\,dx}$ e ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow b^{-}}\int _{a}^{z}f(x)\,dx}$

novamente sendo ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$. Para uma integral imprópria

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$ ou ${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx}$

os limites da integração são ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle \infty }$, ou ${\displaystyle -\infty }$ e ${\displaystyle b}$, respectivamente.

Se ${\displaystyle c\in (a,b)}$, então

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\ dx=\int _{a}^{c}f(x)\ dx\ +\int _{c}^{b}f(x)\ dx}$.[5]