Losango

Essa propriedade é intuitiva e ela parte do fato de que um losango é um caso especial de um paralelogramo. Como todo paralelogramo possui ângulos opostos congruentes, então todo losango também possui ângulos opostos congruentes.

Para demonstrar essa propriedade vamos, inicialmente, escrevê-la em notação matemática.

${\displaystyle ABCD\quad {\text{é um losango de diagonais }}\quad {\overline {AC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\begin{cases}{\overline {AC}}\quad {\text{é bissetriz de}}\quad {\hat {A}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {C}}\\{\overline {BD}}\quad {\text{é bissetriz de}}\quad {\hat {B}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {D}}\end{cases}}}$

Por definição temos que todos os lados são congruentes. Assim cada uma das diagonais divide o losango em dois triângulos isósceles.

Visto que todo losango é um paralelogramo, temos também que suas diagonais se interceptam em seus pontos médios. Assim, sendo ${\displaystyle M}$ o ponto de intersecção das diagonais, temos:

${\displaystyle {\overline {AM}}\equiv {\overline {MC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BM}}\equiv {\overline {MD}}}$

Unindo essas duas implicações temos:

${\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {BC}}\equiv {\overline {CD}}\equiv {\overline {DA}},\quad {\overline {AM}}\equiv {\overline {MC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BM}}\equiv {\overline {MD}}\qquad (LLL)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {AMB}\equiv \triangle {CMB}\equiv \triangle {CMD}\equiv \triangle {AMD}}$

Visto que todos esses triângulos são congruentes, temos:

${\displaystyle A{\hat {B}}M\equiv {M{\hat {B}}C}\equiv {C{\hat {D}}M}\equiv {M{\hat {D}}A}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {BD}}\quad {\text{é bissetriz de}}\quad {\hat {B}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {D}}}$

${\displaystyle M{\hat {A}}B\equiv {B{\hat {C}}M}\equiv {M{\hat {C}}D}\equiv {D{\hat {A}}M}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AC}}\quad {\text{é bissetriz de}}\quad {\hat {A}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {C}}}$

Logo, as diagonais de um losango são bissetrizes de seus respectivos ângulos internos.

Essa propriedade será demonstrada em duas partes (a 'ida' e a 'volta' do teorema).

Vamos demonstrar que se um quadrilátero é um losango, então ele é tem as diagonais perpendiculares.

${\displaystyle ABCD\quad {\text{é losango}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AC}}\perp {\overline {BD}}}$

Como todo losango é um paralelogramo (por possuir lados opostos congruentes), temos que suas diagonais se interceptam em seus respectivos pontos médios. Ou seja, sendo ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ e ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ as diagonais temos:

${\displaystyle M={\overline {AC}}\cap {\overline {BD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AM}}\equiv {\overline {MC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BM}}\equiv {\overline {MD}}}$

Agora tomamos os seguintes triângulos: ${\displaystyle \triangle {AMB}}$, ${\displaystyle \triangle {AMD}}$, ${\displaystyle \triangle {CMB}}$ e ${\displaystyle \triangle {CMD}}$.

Pelo caso de congruência ${\displaystyle LLL}$, temos as congruências:

${\displaystyle \triangle {AMB}\equiv \triangle {AMD}\equiv \triangle {CMB}\equiv \triangle {CMD}}$.

Assim verificamos que os ângulos de vértices ${\displaystyle M}$ são congruentes e suplementares, ou seja: ${\displaystyle {\overline {AC}}\perp {\overline {BD}}}$

Vamos demonstrar se um paralelogramo possui diagonais perpendiculares, então ele é um losango.

${\displaystyle ABCD\quad {\text{é um paralelogramo tal que}}\quad {\overline {AC}}\perp {\overline {BD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {ABCD}\quad {\text{é losango}}}$

Como ${\displaystyle ABCD}$ é paralelogramo, temos que seus lados opostos são congruentes, ou seja:

${\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {CD}}}$e ${\displaystyle {\overline {BC}}\equiv {\overline {AD}}}$.

Também, por ser paralelogramo temos que as diagonais interceptam-se em seus respectivos pontos médios, ou seja:

${\displaystyle M={\overline {AC}}\cap {\overline {BD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AM}}\equiv {\overline {MC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BM}}\equiv {\overline {MD}}}$

Como diagonais são perpendiculares, temo que :

${\displaystyle A{\hat {M}}B\equiv {B{\hat {M}}C}\equiv {C{\hat {M}}D}\equiv {D{\hat {M}}A}}$.

Dessas relações, através do caso de congruência ${\displaystyle LAL}$, temos:

${\displaystyle \triangle {AMB}\equiv \triangle {AMD}\equiv \triangle {CMB}\equiv \triangle {CMD}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AB}}\equiv {\overline {BC}}\equiv {\overline {CD}}\equiv {\overline {DA}}}$.

Logo, ${\displaystyle ABCD}$ é um losango.[4]

O único losango que não possui dois ângulos agudos (menores que 90°) e dois ângulos obtusos (maiores que 90°) é o quadrado. O quadrado possui quatro ângulos iguais a 90°.

A altura h é a distância perpendicular entre dois lados quaisquer não-adjacentes, ou o diâmetro do circulo inscrito (h=2r).

Existem varias formas de se visualizar a fórmula da área. A mais usual é partindo do que se conhece sobre a fórmula da área do paralelogramo. A área A de um paralelogramo é o produto da sua base pela sua altura (h na ilustração). No losango qualquer lado, todos de comprimento a, se presta a fazer o papel de base:

${\displaystyle A=a\cdot h=a\cdot 2r}$

Outra forma usual de visualizar a área do losango, é percebendo que o traçado de suas diagonais permite dividi-lo em quatro triângulos retângulos simétricos e de mesma área:

${\displaystyle A=4\cdot K={\frac {p\cdot q}{2}}}$

onde K é a área de um dos triângulos, p e q as diagonais do losango.[5] A correspondência com a área da primeira abordagem é demonstrada na análise do incentro.

Uma terceira forma, se baseia na primeira, mas expressando h como projeção de um lado a, ou seja, como cateto oposto do ângulo ${\displaystyle \alpha }$, portando expressando através do seno,

${\displaystyle A=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta ,}$

onde é lembrado que o seno de qualquer ângulo do losango é o mesmo (num paralelogramo os ângulos são suplementares entre si).

Visualizando o losango como quadra triângulos-retângulo simétricos (de área K), dados pelas diagonais (p e q).

Para calcular o raio do incentro de um losango, basta usar a seguinte fórmula considerando p e q como diagonais dele.

${\displaystyle r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}}.}$

observando o triângulo-retângulo de hipotenusa a e catetos p/2 e q/2, concluímos que a área K de cada triângulo ilustrado é:

${\displaystyle K=a\cdot r/2={\frac {p\cdot q}{8}}}$

Também pode ser aplicada a seguinte fórmula para o cálculo da área de um losango:

Área=D*d/2

D representa o comprimento de sua diagonal maior e d representa o comprimento de sua diagonal menor.

Ou seja, a área de um losango é a metade do produto de suas diagonais.