Método do domínio fictício

Em matemática, o Método do domínio fictício é um método para encontrar as soluções de uma equação diferencial parcial em um domínio complicado $D$ , substituindo um dado problema em um domínio $D$ por um novo problema em um domínio simples $\Omega$ contendo $D$

Formulação Geral

Considere uma área $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ na qual queiramos encontrar a solução $u(x)$ da equação:

Lu=-\phi (x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in D

com Condições de fronteira:

lu=g(x),x\in \partial D\,

A ideia do método do domínio fictício é basicamente substituir um problema dado em um domínio $D$ , por um novo problema em um simples domínio $\Omega$ contendo $D$ ( $D\subset \Omega$ ). Por exemplo, podemos escolher um paralelepípedo n-dimensional como $\Omega$ .

Problema no domínio $\Omega$ para a nova solução $u_{\epsilon }(x)$ :

L_{\epsilon }u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \Omega

l_{\epsilon }u_{\epsilon }=g^{\epsilon }(x),x\in \partial \Omega

É necessário levar o problema a uma área estendida para que as seguintes condições sejam satisfeitas:

u_{\epsilon }(x){\xrightarrow[{\epsilon \rightarrow 0}]{}}u(x),x\in D\,

Exemplo simples, problema unidimensional

{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=-2,\quad 0<x<1\quad (1)

u(0)=0,u(1)=0\,

Prolongamento pelos coeficientes principais

$u_{\epsilon }(x)$ solução do problema:

{\frac {d}{dx}}k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}=-\phi ^{\epsilon }(x),0<x<2\quad (2)

O coeficiente descontínuo $k^{\epsilon }(x)$ e o lado direito da equação anterior obtemos das expressões:

k^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}

(3)

\phi ^{\epsilon }(x)={\begin{cases}2,&0<x<1\\2c_{0},&1<x<2\end{cases}}

Condições de fronteira:

u_{\epsilon }(0)=0,u_{\epsilon }(1)=0

Condições de conexão no ponto $x=1$ :

[u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0

onde $[\cdot ]$ significa:

[p(x)]=p(x+0)-p(x-0)\,

A equação (1) tem solução analítica portanto podemos facilmente obter o erro:

u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ^{2}),\quad 0<x<1

Prolongamento por coeficientes de ordem mais baixa

$u_{\epsilon }(x)$ solução do problema:

{\frac {d^{2}u_{\epsilon }}{dx^{2}}}-c^{\epsilon }(x)u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),\quad 0<x<2\quad (4)

Onde $\phi ^{\epsilon }(x)$ pegamos como em (3), e a expressão para $c^{\epsilon }(x)$

c^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}

como condições de fronteira para a equação (4) assim como para (2).

Condições de conexão do ponto $x=1$ :

[u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[{\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0

Erro:

u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ),\quad 0<x<1

Literatura

P.N. Vabishchevich, The Method of Fictitious Domains in Problems of Mathematical Physics, Izdatelstvo Moskovskogo Universiteta, Moskva, 1991.
Smagulov S. Fictitious Domain Method for Navier–Stokes equation, Preprint CC SA USSR, 68, 1979.
Bugrov A.N., Smagulov S. Fictitious Domain Method for Navier–Stokes equation, Mathematical model of fluid flow, Novosibirsk, 1978, p. 79–90

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.