Mínimos quadrados generalizados

Seja o modelo na forma matricial

${\displaystyle Y=X\beta +\varepsilon }$

Assumimos que[2]

${\displaystyle E\left[\varepsilon |X\right]=0}$

${\displaystyle E\left[\varepsilon \varepsilon ^{T}|X\right]=\sigma ^{2}\Omega }$, onde ${\displaystyle \Omega }$ é uma matriz positiva definida. No caso especial em que temos mínimos quadrados ordinários, ${\displaystyle \Omega =I}$, a matriz identidade.

Esta última hipótese é bem genérica, ou seja, inclui muitos casos. Por exemplo, no caso de heteroscedasticidade, teremos

${\displaystyle \sigma ^{2}\Omega =\sigma ^{2}{\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}^{2}&0&\cdots &0\\0&\sigma _{22}^{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\sigma _{nn}^{2}\end{bmatrix}}}$

Se tivermos, por outro lado, autocorrelação, mas não heteroscedasticidade, teremos:

${\displaystyle \sigma ^{2}\Omega =\sigma ^{2}{\begin{bmatrix}1&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\a_{1}&1&\cdots &a_{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

A variância do estimador ${\displaystyle {\hat {\beta }}^{GLS}}$ é dada por[2]

${\displaystyle Var\left({\hat {\beta }}^{GLS}\right)=\left[X^{T}X\right]^{-1}X^{T}}$${\displaystyle \sigma ^{2}\Omega X\left[X^{T}X\right]^{-1}}$

• Mínimos quadrados ordinários

• «Explicação» (PDF) (em inglês). completa sobre GLS