Conjugado transposto

O conjugado complexo de uma matriz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m\times n}$ é formalmente definido como

${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)_{ij}={\overline {\mathbf {A} _{ji}}}}$

(Eq.1)

onde o subescrito ${\displaystyle ij}$ denota o ${\displaystyle (i,j)}$-ésimo elemento de ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ and ${\displaystyle 1\leq j\leq m}$, e a barra superior denota o escalar do complexo conjugado. Sem perda de generalidade, essa definição também pode ser escrita como

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}}}$

onde ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$ denota a transposta e ${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}}$ denota a matriz com elementos conjugados complexos.

Outros nomes associados ao transposto conjugado de uma matriz são “conjugado Hermitiano”, “matriz adjunta” e “transjugado”.

O transposto conjugado de uma matriz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ pode ser denotado por qualquer um destes símbolos:

• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$, tipicamente usado na álgebra linear
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$, também tipicamente usado na álgebra linear
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}$ (em geral pronunciado como A dagger), tipicamente usado no contexto da mecânica quântica
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{+}}$, embora este símbolo seja mais comumente usado para a inversa de Moore-Penrose.

Em certos contextos, ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$ pode denotar a matriz apenas com elementos conjugados complexos, sem a transposição.

Suponha que você deseje calcular a conjugada transposta de seguinte matriz ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}}$

Primeiro, realiza-se a transposição da matriz:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}}$

Em seguida, conjuga-se cada elemento da matriz:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}}$

Uma matriz quadrada (ou seja, necessariamente ${\displaystyle n\times n}$) ${\displaystyle \mathbf {A} }$ com elementos ${\displaystyle a_{ij}}$ é dita

• Hermitiana ou autoadjunta se ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$; i.e., ${\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$.
• Anti-hermitiana se ${\displaystyle \mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$; i.e., ${\displaystyle a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$.
• Normal se ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$.
• Unitária se ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{-1}}$, equivalentemente${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}}$, equivalentemente ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ={\boldsymbol {I}}}$.

Mesmo que ${\displaystyle \mathbf {A} }$ não seja quadrada, ambas as matrizes ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} }$ e ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ são Hermitianas e semi-definidas positivas.

A matriz conjugada transposta “adjunta” ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ não deve ser confundida com a matriz adjunta ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )}$, que é também chamada frequentemente apenas de “adjunta”.

O transposto conjugado de uma matriz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ com elementos reais reduz-se para a transposta de ${\displaystyle \mathbf {A} }$, já que o conjugado de um número real é o próprio número.

A conjugada transposta pode ser motivada ao notar que números complexos podem ser representados na forma matricial por uma matriz real ${\displaystyle 2\times 2}$, e, portanto, obedecem as propriedades matriciais de soma e multiplicação.

${\displaystyle a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.}$

Ou seja, representando cada número complexo ${\displaystyle z}$ pela matriz real ${\displaystyle 2\times 2}$ da transformação linear no plano complexo (visto como o espaço vetor “real” ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$), afetado pela multiplicação complexa de “${\displaystyle z}$” em ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Dessa forma, uma matriz de números complexos ${\displaystyle m\times n}$ pode ser bem representada por uma matriz de números reais ${\displaystyle 2m\times 2n}$. A conjugada transposta, portanto, surge naturalmente como o resultado de transpor tal matriz—quando interpretado novamente como uma matriz ${\displaystyle n\times m}$ composta por números complexos.

• ${\displaystyle (\mathbf {A} +{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }}$ para qualquer duas matrizes ${\displaystyle \mathbf {A} }$ e ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ de mesmas dimensões.
• ${\displaystyle (z\mathbf {A} )^{\mathrm {H} }={\overline {z}}\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ para qualquer número complexo ${\displaystyle z}$ e qualquer matriz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m\times n}$.
• ${\displaystyle (\mathbf {A} {\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ para qualquer matriz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m\times n}$ e qualquer matriz ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle n\times p}$. Perceba que a ordem dos fatores é revertida.[1]
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} }$ para qualquer matriz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m\times n}$, ou seja, a transposição Hermitiana é uma involução.
• Se ${\displaystyle \mathbf {A} }$ é uma matriz quadrada, então ${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\det \left(\mathbf {A} \right)}}}$ onde ${\displaystyle \operatorname {det} (A)}$ representa o determinante de ${\displaystyle \mathbf {A} }$ .
• Se ${\displaystyle \mathbf {A} }$ é uma matriz quadrada, então ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\operatorname {tr} (\mathbf {A} )}}}$ onde ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$ representa o traço de ${\displaystyle \mathbf {A} }$.
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$ é inversível se e somente se ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ é inversível, e, neste caso ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\mathrm {H} }}$.
• Os autovalores de ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ são os conjugados complexos dos autovalores de ${\displaystyle \mathbf {A} }$.
• ${\displaystyle \left\langle \mathbf {A} x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}}$ para qualquer matriz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m\times n}$, qualquer vetor em ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ e qualquer vetor ${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$. Aqui, ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}}$ representa o produto interno complexo em ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$, e similarmente para ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}}$.

A última propriedade dada mostra que se tratarmos ${\displaystyle \mathbf {A} }$ como a transformação linear do espaço de Hilbert ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ para ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m},}$ então a matriz ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ corresponde ao Hermitiano adjunto de ${\displaystyle \mathbf {A} }$. O conceito de operadores adjuntos entre espaços de Hilbert pode, dessa forma, ser visto como uma generalização dos conjugados transpostos de matrizes em relação à uma base ortonormal. Outra generalização também é possível: suponha que ${\displaystyle A}$ seja um mapa linear the um espaço vetorial complexo ${\displaystyle V}$ para um outro, ${\displaystyle W}$, então a transformação linear do complexo conjugado assim como a transformação linear transposta são definidas, e portanto é possível afirmar que o conjugado transposto de ${\displaystyle A}$ é o conjugado complexo da transposta de ${\displaystyle A}$. Ou seja, ele transforma o conjugado dual de ${\displaystyle W}$ ao conjugado dual de ${\displaystyle V}$

• Produto escalar
• Hermitiano adjunto
• Matriz adjunta

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Adjoint matrix», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer