Medida exterior de Lebesgue

• Seja ${\displaystyle I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}],~~a_{i}\leq b_{i}}$, então:

${\displaystyle \mu ^{*}(I)=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\ldots (b_{n}-a_{n})}$

• Em especial:

${\displaystyle \mu ^{*}(\emptyset )=0}$

• ${\displaystyle \mu ^{*}\left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu ^{*}(E_{j})}$ (sub-aditividade)
• Em especial:

${\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow \mu ^{*}(A)\leq \mu ^{*}(B)}$ (monotonicidade)

• Se ${\displaystyle A_{\lambda }}$ é definido como ${\displaystyle A_{\lambda }=\{x+\lambda :x\in A\}}$ então:

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A_{\lambda })}$ (invariância por translações)

• Se ${\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ é uma transformação linear e ${\displaystyle TA:=\{Tx:x\in A\}}$ então:

${\displaystyle \mu ^{*}(TA)=|T|\mu ^{*}(A)}$, onde ${\displaystyle |T|}$ é o determinante da transformação.

Seja o conjunto elementar ${\displaystyle I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}],~~a_{i}\leq b_{i}}$. Define-se o volume de ${\displaystyle I}$ como:

${\displaystyle {\hbox{vol}}(I)=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\ldots (b_{n}-a_{n})}$

É claro que qualquer subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ está contido na união enumerável desses conjuntos, pois:

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }[-j,j]^{n}}$

Então a medida exterior de Lebesgue de um conjunto ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ é definida como:

${\displaystyle \mu ^{*}(E)=\inf \left\{\sum _{j=1}^{\infty }{\hbox{vol}}(I_{j}):\bigcup I_{j}\supseteq E\right\}}$, onde ${\displaystyle I_{j}}$ são elementares.

O ínfimo é tomado sobre todas as possíveis famílias enumeráveis de conjuntos elementares que cobrem ${\displaystyle E}$.

A medida exterior é, portanto, uma função cujo domínio são as partes de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \mu ^{*}:P(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{\infty \}}$

Um conjunto é dito ter medida de Lebesgue zero se sua medida exterior for nula. Surge da teoria da medida de Lebesgue que todo conjunto de medida exterior nula é mensurável e possui medida nula.

• Medida
• Medida exterior

• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (28 de novembro de 2009). Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (em inglês). [S.l.]: Princeton University Press