Mikhail Ostrogradski

Em 1826, Ostrogradsky deu a primeira prova geral do teorema da divergência, que foi descoberto por Lagrange em 1762. Este teorema pode ser expresso usando a equação de Ostrogradsky:

${\displaystyle \iiint _{V}\left({\partial P \over \partial x}+{\partial Q \over \partial y}+{\partial R \over \partial z}\right)dx\,dy\,dz=\iint _{\Sigma }\left(P\cos \lambda +Q\cos \mu +R\cos \nu \right)d\Sigma }$;

onde P, Q e R são funções diferenciáveis ​​de x, y e z definidas na região compacta V limitada por uma superfície lisa fechada Σ; λ, μ e ν são os ângulos que a normal externa a Σ faz com os eixos x, y e z positivos, respectivamente; e d Σ é o elemento da área de superfície em Σ.

Seu método de integração de funções racionais[2] é bem conhecido. Primeiro, separamos a parte racional da integral de uma função racional fracionária, a soma da parte racional (fração algébrica) e a parte transcendental (com o logaritmo e o arco-tangente). Em segundo lugar, determinamos a parte racional sem integrá-la e atribuímos uma dada integral na forma de Ostrogradsky:

${\displaystyle \int {R(x) \over P(x)}\,dx={T(x) \over S(x)}+\int {X(x) \over Y(x)}\,dx,}$

Onde ${\displaystyle P(x),\,S(x),\,Y(x)}$ são polinômios conhecidos de graus p, s, y respectivamente, ${\displaystyle R(x)}$ é um polinômio conhecido de grau não maior que ${\displaystyle p-1}$, e ${\displaystyle T(x),\,X(x)}$ são polinômios desconhecidos de graus não maiores que ${\displaystyle s-1}$ e ${\displaystyle y-1}$ respectivamente.

Terceiro, ${\displaystyle S(x)}$ é o maior divisor comum de ${\displaystyle P(x)}$ e ${\displaystyle P'(x)}$. Quarto, o denominador da integral restante ${\displaystyle Y(x)}$ pode ser calculado a partir da equação ${\displaystyle P(x)=S(x)\,Y(x)}$.[3][4][5]