Número algébrico

A soma, subtração, produto e quociente de dois números algébricos é novamente um número algébrico, logo eles formam um corpo. Pode-se mostrar que as soluções de equações polinomiais com coeficientes algébricos são novamente números algébricos. Posto de outro modo, o corpo dos números algébricos é algebricamente fechado De facto, é o menor corpo algebricamente fechado que contém os racionais, pelo que é a aderência algébrica do corpo dos números racionais.

Todos os números que possam ser escritos usando uma forma finita de adições, subtrações, multiplicações, divisões, e raízes de grau n (n inteiro positivo) são algébricos. O contrário, no entanto, não é verdadeiro, pois há expressões algébricas que não podem ser representadas dessa maneira. Todos esses números podem ser vistos como soluções para equações polinomiais de grau ≥ ${\displaystyle 5}$. Isto é o que diz a Teoria de Galois.

Um número algébrico que é raiz de uma equação polinomial de grau ${\displaystyle n}$, com coeficientes inteiros, onde o coeficiente do termo de grau ${\displaystyle n}$ é igual a ${\displaystyle 1}$ diz-se um inteiro algébrico. Por exemplo, ${\displaystyle 3}$√${\displaystyle 2+5}$ e ${\displaystyle 6i-2}$ são inteiros algébricos.

A soma, a diferença e o produto de inteiros algébricos é novamente um inteiro algébrico; por outras palavras, os inteiros algébricos formam um anel. O nome «inteiro algébrico» tem origem no facto de os únicos números racionais que são inteiros algébricos serem os números inteiros.

Ver artigo principal: Elemento algébrico

Sejam K e L corpos, ${\displaystyle K\subseteq L\,}$ e ${\displaystyle \alpha \in L\,}$. Então, considerando-se todos os polinômios p(x) não-nulos com coeficientes em K, temos que:

${\displaystyle \alpha \,}$ é transcendente sobre K se ${\displaystyle \forall p(x),p(\alpha )\neq 0\,}$

${\displaystyle \alpha \,}$ é algébrico sobre K se ${\displaystyle \exists p(x),p(\alpha )=0\,}$

Por exemplo, ${\displaystyle \pi \,}$ é transcendente sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]\,}$, mas é algébrico sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} [\pi ^{2}]\,}$ (porque é uma raiz de ${\displaystyle p(x)=x^{2}-\pi ^{2}\,}$).

Todo número real (como os números algébricos) pode ser aproximado por números racionais. Uma observação aparentemente paradoxal é que os números algébricos são ruins de serem aproximados por números racionais, ou seja, ao se aproximar

${\displaystyle \alpha \approx {\frac {p}{q}}}$

o erro tende a ser grande quando comparado com o denominador q. Isso pode ser usado para mostrar que alguns números não são algébricos. Para maiores detalhes, ver artigo sobre Números de Liouville.