Ordenação de tempo

Na teoria quântica de campos a ordenação de tempo é útil para tirar produto de operadores. Esta operação é designada por ${\mathcal {T}}$ .[1] Para dois operadores A (x) e B (y), que dependem em locais de espaço-tempo x e y nós definimos:

{\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{if }}x_{0}>y_{0},\\\pm B(y)A(x)&{\text{if }}x_{0}<y_{0}.\end{cases}}

Aqui $x_{0}$ and $y_{0}$ designam as coordenadas-tempo dos pontos x e y.[2]

De forma explícita temos

{\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (x_{0}-y_{0})A(x)B(y)\pm \theta (y_{0}-x_{0})B(y)A(x),

onde $\theta$ representa a função de passo Heaviside e o $\pm$ depende se os operadores em natureza são Bósonicos ou Férmionicos. Se bosônico, então o sinal de $+$ é sempre escolhido, se fermiônico então, o sinal vai depender do número de interligação necessárias para atingir o operador de ordem temporal adequada.[3]

Uma vez que os operadores dependem de sua localização no espaço-tempo (ou seja, não apenas no tempo), esta operação em ordenação de tempo só é coordenada independente se os operadores do tipo espacial [nota 1] em pontos separados comutam.[4] Note que a ordenação tempo é em geral escrita com o argumento de tempo aumentando da direita para a esquerda. Em geral, para o produto de n operadores de campo A₁(t₁), …, A_n(t_n) o produto do tempo ordenado dos operadores são definidos da seguinte forma:

{\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}=\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})

onde a soma é executada em todo p's e sobre o grupo simétrico[5] [nota 2] n graus de permutações e

\varepsilon (p)\equiv {\begin{cases}1&{\text{para os operadores bosônicos,}}\\{\text{sinal da permutação}}&{\text{para os operadores fermiônicos.}}\end{cases}}

Matriz de dispersão

A matriz de dispersão [nota 3](ou matriz de espalhamento[6]) de em teoria quântica de campos é um exemplo de um produto de tempo ordenado. A matriz de dispersão transformando o estado em t =−∞ para um estado em t = +∞, pode também ser considerada como uma espécie de "holonomia[7]", análoga à linha de Wilson. Obtemos uma expressão ordenada no tempo devido ao seguinte motivo:

Começamos com esta fórmula simples para o exponencial

\exp h=\lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {h}{N}}\right)^{N}.

Agora, considere a evolução discretizada do operador

S=\cdots (1+h_{+3})(1+h_{+2})(1+h_{+1})(1+h_{0})(1+h_{-1})(1+h_{-2})\cdots

onde $1+h_{j}$ é o operador de evolução ao longo de um intervalo $[j\varepsilon ,(j+1)\varepsilon ]$ de tempo infinitesimal. Os termos de ordem superiores podem ser negligenciados no limite $\varepsilon \to 0$ . O operador $h_{j}$ é definido por

h_{j}={\frac {1}{i\hbar }}\int _{j\varepsilon }^{(j+1)\varepsilon }dt\int d^{3}x\,H({\vec {x}},t).

Note-se que os operadores de evolução ao longo dos intervalos de tempo "passado" é exibido no lado direito do produto. Nós vemos que a fórmula é análoga à identidade acima satisfeita pelo exponencial, e podemos escrever

S={\mathcal {T}}\exp \left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }h_{j}\right)={\mathcal {T}}\exp \left(\int dt\,d^{3}x\,{\frac {H({\vec {x}},t)}{i\hbar }}\right).

A única sutileza que tivemos que incluir foi o operador ${\mathcal {T}}$ de ordenação de tempo porque os fatores no produto que definem S acima foram tempo-ordenados, também (e os operadores não comutam, em geral) e o operador ${\mathcal {T}}$ garante que este ordenação será preservada.

Notas

Intervalo do tipo espacial:
${\begin{aligned}\\c^{2}\Delta t^{2}&<\Delta r^{2}\\s^{2}&>0\\\end{aligned}}$
Não confundir com o Grupo de simetria ou Grupo de permutação.
A matriz de dispersão relaciona o estado inicial e o estado final de um sistema físico passando por um processo de dispersão. Ela é usada na mecânica quântica,teoria da dispersão e na teoria quântica de campos, mas para a abordagem dos anos 1960 para a física de partículas, use-se a Teoria de matriz de dispersão.

Referências

J.H. McGuire, A.L. Godunov, Kh. Kh. Shakov,Kh. Yu. Rakhimov & A. Chalastaras (21 Dez 2003). «Quantum time ordering and degeneracy». Cornell University (arXiv). Consultado em 1 Jan. 2014
H. Dieter Zeh (2012). «Time in Quantum Theory» (PDF). www.zeh-hd.de. Consultado em 1 Jan. 2014
Michael Dine (2013). «Time Ordered Perturbation Theory» (PDF). University of California. Consultado em 1 Jan. 2014
R. Jeffrey Wilkes (7 Abr 2005). «Spacelike and timelike intervals» (PDF). Dept. of Physics, University of Washington. Consultado em 1 Jan. 2014
Symmetric group. L.A. Kaluzhnin (originator), Encyclopedia of Mathematics. []
Niklas Beisert (Jan. 2013). «Quantum Field Theory I» (PDF). The Institute for Theoretical Physics of ETH Zurich. Consultado em 1 Jan. 2014
JORDAN ALAN WATTS (1 de junho de 2010). «HOLONOMY» (PDF). Department of Mathematics, University of Illinois. Consultado em 1 Jan. 2014

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[4] Intervalo do tipo espacial:
${\begin{aligned}\\c^{2}\Delta t^{2}&<\Delta r^{2}\\s^{2}&>0\\\end{aligned}}$

[7] Não confundir com o Grupo de simetria ou Grupo de permutação.

[8] A matriz de dispersão relaciona o estado inicial e o estado final de um sistema físico passando por um processo de dispersão. Ela é usada na mecânica quântica,teoria da dispersão e na teoria quântica de campos, mas para a abordagem dos anos 1960 para a física de partículas, use-se a Teoria de matriz de dispersão.

[1] J.H. McGuire, A.L. Godunov, Kh. Kh. Shakov,Kh. Yu. Rakhimov & A. Chalastaras (21 Dez 2003). «Quantum time ordering and degeneracy». Cornell University (arXiv). Consultado em 1 Jan. 2014

[2] H. Dieter Zeh (2012). «Time in Quantum Theory» (PDF). www.zeh-hd.de. Consultado em 1 Jan. 2014

[3] Michael Dine (2013). «Time Ordered Perturbation Theory» (PDF). University of California. Consultado em 1 Jan. 2014

[5] R. Jeffrey Wilkes (7 Abr 2005). «Spacelike and timelike intervals» (PDF). Dept. of Physics, University of Washington. Consultado em 1 Jan. 2014

[6] Symmetric group. L.A. Kaluzhnin (originator), Encyclopedia of Mathematics. []

[9] Niklas Beisert (Jan. 2013). «Quantum Field Theory I» (PDF). The Institute for Theoretical Physics of ETH Zurich. Consultado em 1 Jan. 2014

[10] JORDAN ALAN WATTS (1 de junho de 2010). «HOLONOMY» (PDF). Department of Mathematics, University of Illinois. Consultado em 1 Jan. 2014