Paradoxo do aniversário

Para calcular aproximadamente a probabilidade de que em uma sala com n pessoas, pelo menos duas possuam o mesmo aniversário, desprezamos variações na distribuição, tais como anos bissextos, gêmeos, variações sazonais ou semanais, e assumimos que 365 possíveis aniversários são todos igualmente prováveis. Distribuições de aniversários na realidade não são uniformes uma vez que as datas não são equiprováveis.[1]

É mais fácil calcular a probabilidade p(n) de que todos os n aniversários sejam diferentes. Se n > 365, pelo princípio da casa dos pombos esta probabilidade é 0. Por outro lado, se n ≤ 365, ele é dado por

${\displaystyle {\bar {p}}(n)=1\cdot \left(1-{\frac {1}{365}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{365}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{365}}\right)={365\cdot 364\cdots (365-n+1) \over 365^{n}}={365! \over 365^{n}(365-n)!}}$

porque a segunda pessoa não pode ter o mesmo aniversário do que o primeiro (364/365), o terceiro não pode ter o mesmo aniversário do que o segundo (363/365), etc.

O evento de pelo menos duas pessoas entre n terem o mesmo aniversário é o complementar de todos n serem diferentes. Consequentemente, sua probabilidade p(n) é

${\displaystyle p(n)=1-{\bar {p}}(n).}$

Esta probabilidade ultrapassa 1/2 para n = 23 (com valor aproximado de 50.7%). A seguinte tabela mostra a probabilidade para alguns valores de n (ignorando anos bissextos como descrito anteriormente):

def birthday(n):
    p = (1.0/365)**n
    for i in range((366-n),366):
        p *= i
    return 1-p

birthday <- function(n) {
  print(p <- 1 - choose(365, 365 - n) * factorial(n) / 365 ^ n)
}

function birthday (n) {
    let p = (1.0 / 365)**n
    for(let i = (366 - n); i < 366; i++) {
        p *= i
    }
    return 1 - p
}

Utilizando a expansão da série de Taylor para a função exponencial

${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots }$

Um gráfico mostrando precisão da aproximação 1 − exp(−n²/(2⋅365)).

a primeira expressão derivada para p(n) pode ser aproximado a

${\displaystyle {\bar {p}}(n)\approx 1\cdot e^{-1/365}\cdot e^{-2/365}\cdots e^{-(n-1)/365}}$

${\displaystyle =1\cdot e^{-(1+2+\cdots +(n-1))/365}}$

${\displaystyle =e^{-(n(n-1))/2\cdot 365}}$

Então,

${\displaystyle p(n)=1-{\bar {p}}(n)\approx 1-e^{-(n(n-1))/2\cdot 365}}$

Uma outra aproximação grosso modo é dada por

${\displaystyle p(n)\approx 1-e^{-n^{2}/{2\cdot 365}},\,}$

que, como ilustrado pelo gráfico, ainda possui uma boa precisão.

• Problema do colecionador de cupons

• Zoe Emily Schnabel: "The estimation of the total fish population of a lake", American Mathematical Monthly 45 (1938), pages 348-352
• M. Klamkin and D. Newman: "Extensions of the birthday surprise", Journal of Combinatorial Theory 3 (1967), pages 279-282.
• D. Bloom: "A birthday problem", American Mathematical Monthly 80 (1973), pages 1141-1142. This problem solution contains a proof that the probability of two matching birthdays is least for a uniform distribution of birthdays.

• Um experimento online demonstrando o paradoxo do aniversário do utilizadores
• Solução completa para a para 2, 3, e uma generalização para n aniversários coincidentes Em falta ou vazio |título= (ajuda)
• The Birthday Paradox
• http://planetmath.org/encyclopedia/BirthdayProblem.html Em falta ou vazio |título= (ajuda)
• Eric W. Weisstein, Birthday Problem no MathWorld
• Maple vs. paradoxo do aniversário
• Probability by Surprise Birthday Applet An animation for simulating the birthday paradox.
• A humorous article explaining the paradox
• The Birthday Problem Spreadsheet