Ponto de Gergonne

O círculo inscrito do triângulo ${\displaystyle ABC}$ tem centro ${\displaystyle M}$ e toca os lados do triângulo nos pontos ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ e ${\displaystyle Z}$. Gergonne mostrou que as linhas de conexão entre estes pontos de contato e o vértice oposto do triângulo cruzam-se em um ponto, o ponto de Gergonne ${\displaystyle G}$.

Que essas linhas se cruzam em um ponto segue-se de ${\displaystyle {\overline {AZ}}={\overline {AY}}}$, etc., e do teorema de Ceva.

• O ponto de Gergonne encontra-se em uma linha reta com o centro de gravidade e o ponto médio (nesta ordem).
• O ponto de Gergonne e o ponto de Nagel são conjugados isotômicos.

[1]

Gergonne-Punkt (${\displaystyle X_{7}}$)
Coordenadas trilineares	${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}\,:\,{\frac {ca}{c+a-b}}\,:\,{\frac {ab}{a+b-c}}}$ ${\displaystyle =\sec ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\,:\,\sec ^{2}{\frac {\beta }{2}}\,:\,\sec ^{2}{\frac {\gamma }{2}}}$
Coordenadas baricêntricas	${\displaystyle {\frac {1}{b+c-a}}\,:\,{\frac {1}{c+a-b}}\,:\,{\frac {1}{a+b-c}}}$

• Círculos inscrito e exinscrito em um triângulo

• Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv, 71, 1987, 2, p. 230–233

• Weisstein, Eric W. «Gergonne Point» (em inglês). MathWorld