Ponto recorrente

Sejam ${\displaystyle X}$ um espaço topológico e ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ um homeomorfismo. Dizemos que ${\displaystyle p\in M}$ é um ponto recorrente caso ${\displaystyle p\in \omega (p)}$

Além disto, definimos o conjunto ômega-limite de ${\displaystyle f}$ por ${\displaystyle \Omega (f)=\{p\in Z\mid p\in \omega (p)\}}$.

Para fluxos, mutatis mutandis, temos a seguinte definição:

Sejam ${\displaystyle M}$ uma variedade suave e ${\displaystyle \phi$ :\mathbb {R} \times M\rightarrow M} um fluxo contínuo definido sobre ${\displaystyle M}$. Dizemos que ${\displaystyle p\in M}$ é um ponto recorrente caso ${\displaystyle p\in \omega (p)}$.

Definimos o conjunto ômega-limite de ${\displaystyle \phi }$ por ${\displaystyle \Omega (f)=\{p\in Z\mid p\in \omega (p)\}}$.

• ${\displaystyle \Omega (f)}$ é um conjunto invariante pela ação do difeomorfismo (ou do fluxo) que define a dinâmica.
• Se o espaço topológico onde está definida a dinâmica for compacto, pode-se mostrar que ${\displaystyle \Omega (f)}$ é um conjunto não-vazio.
• Para difeomorfismos do tipo Axioma A definidos sobre uma variedade fechada, ${\displaystyle \Omega (f)}$ possui no máximo um número finito de componentes conexas.
• Todo ponto recorrente é não-errante. A recíproca não é verdadeira.