Pré-ordem

Seja A um conjunto e R uma relação binária sobre A (ou seja, R subconjunto de AxA). Então, R é uma pré-ordem sobre A se, e somente se, R é reflexiva e transitiva. Isto é:

${\displaystyle \forall a\in A\ (aRa)}$ (propriedade reflexiva)

${\displaystyle \forall (a,b)\in A\times A(aRb\ \land bRc\ \ \Rightarrow aRc)}$ (propriedade transitiva)

Muitas vezes é usada a notação de par-ordenado. Neste caso, escreveríamos: ${\displaystyle (A,R)}$ é uma pré-ordem.

• Todo espaço topológico finito gera uma pré-ordem nos seus pontos, na qual x ≤ y se, e somente se, x pertence a toda vizinhança de y.
• Sobre os arcos de um grafo orientado, a relação ser acessível por é uma pré-ordem. Se o digrafo é acíclico, essa relação vira uma ordem.
• Em um anel comutativo, a relação divide é uma pré-ordem.
• Seja ${\displaystyle M}$ um monóide. Definimos a relação ${\displaystyle \leq }$ em ${\displaystyle M}$ como

${\displaystyle x\leq y\iff {\big (}\exists z\in M{\big )}{\big (}xz=y{\big )}}$.

Assim, ${\displaystyle (M,\leq )}$ é uma pré-ordem.

• A relação definida por ${\displaystyle x\leq y\iff \exists f:x\rightarrow y}$, injetora.
• Dada uma relação de pré-ordem ${\displaystyle (X,\lesssim )}$, então, ${\displaystyle \forall \ Y\subset X\ (Y,\lesssim )}$ também é uma pré-ordem.
• Uma categoria com no máximo um morfismo de algum objeto ${\displaystyle x}$ para algum outro onjeto ${\displaystyle y}$ é uma pré-ordem. Neste sentido, categorias "generalizam" pré-ordens aceitando mais do que uma relação entre objetos: cada morfismo é uma relação de pré-ordem diferente.
• Considere o conjunto ${\displaystyle {}^{\mathbb {N} }{\mathbb {N} }}$ de todas as funções do conjunto dos números naturais ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ em ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$. Definimos a relação ${\displaystyle \leqslant ^{*}}$ para ${\displaystyle {}^{\mathbb {N} }{\mathbb {N} }}$ como

${\displaystyle f\leqslant ^{*}g\iff {\big (}\exists N\in {\mathbb {N} }{\big )}{\big (}\forall n\geqslant N{\big )}(f(n)\leqslant g(n){\big )}}$

(considerando ${\displaystyle \leqslant }$ como a ordem natual de ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$).

Então ${\displaystyle ({}^{\mathbb {N} }{\mathbb {N} },\leqslant ^{*})}$ é uma pré-ordem.

• Toda pré-ordem pode gerar uma topologia, Topologia de Alexandrov e, de fato, toda pré-ordem admite uma bijeção com uma topologia de Alexandrov neste conjunto.
• Pré-ordens podem ser usadas para definir álgebras interiores.
• Pré-ordens induzem a semântica de Kripke para certos tipos de lógicas modais.

• Relação de ordem - pré-ordem que é também antissimétrica.
• Relação de equivalência - pré-ordem que é também uma relação simétrica.
• Ordem total - pré-ordem que é também total e antissimétrica.
• Lema de Newman

• Schröder, Bernd S. W. (2002), Ordered Sets: An Introduction, ISBN 0-8176-4128-9, Boston: Birkhäuser