Princípio diamante

O princípio diamante ◊ (ouro) diz que existe uma seqüência-◊, em outras palavras, conjuntos de A_α⊆α para α<ω₁ tal que para qualquer subconjunto A de ω₁ o conjunto de α com A∩α = A_α é estacionário em ω₁.

Mais geralmente, para um determinado número cardinal ${\displaystyle \kappa }$ e um conjunto estacionário[nota 2] ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$, a declaração ◊_S (por vezes escrita como ◊ (S) ou ◊_κ(S)) é a afirmação de que há uma seqüência ${\displaystyle \langle A_{\alpha }:\alpha \in S\rangle }$ de tal forma que:

• cada ${\displaystyle A_{\alpha }\subseteq \alpha }$
• para cada ${\displaystyle A\subseteq \kappa ,\{\alpha \in S:A\cap \alpha =A_{\alpha }\}}$ é fixo em ${\displaystyle \kappa }$

O princípio ◊_ω1 é o mesmo que ◊.

Jensen demonstrou que o princípio diamante ◊ implica a existência de árvores Suslin. Ele também mostrou que ◊ implica a HC. Também ♣ + HC implica ◊, mas Saharon Shelah deu modelos de ♣ + ¬ HC, deste modo ◊ (naipe ouro) e ♣ (naipe paus) não são equivalentes (sim, ♣ é mais fraco que ◊).[nota 3] [6]

Akemann & Weaver[7] utilizaram ◊ para construir uma C^*-algebra servindo como um contra-exemplo para o problema de Mark Aronovich Naimark.[nota 4]

Teoria dos conjuntos combinatória

Ver artigo principal: Combinatória

Teoria dos conjuntos combinatória preocupa-se com extensões da combinatória finita para conjuntos infinitos. Isto inclui o estudo da aritmética de cardinais e o estudo de extensões do teorema de Ramsey tais como o teorema de Erdos-Rado.

Teoria descritiva dos conjuntos

Ver artigo principal: Teoria descritiva dos conjuntos

• Teoria das categorias
• Modelo relacional
• Axioma de construtibilidade