Quadripotencial eletromagnético

O quadripotencial eletromagnético é um quadrivetor definido em unidades SI (e unidades gaussianas em parênteses) como

${\displaystyle A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {A}}\right)\qquad \left(A^{a}=(\phi ,{\vec {A}})\right)}$

na qual ${\displaystyle \phi }$ é o potencial elétrico, e ${\displaystyle {\vec {A}}}$ é o potencial magnético, um vetor potencial.

Os campos elétricos e magnéticos associados com estes quadripotenciais são:

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\qquad \left(-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}$

Ele é útil para agrupar os potenciais nesta forma porque ${\displaystyle A_{\alpha }}$ é um vetor covariante de Lorentz, significando que ele transforma-se do mesmo modo como as coordenadas espaço-tempo (t, x) sob transformações no grupo de Lorentz: rotações e transformação de Lorentz. Como resultado, o produto interno

${\displaystyle A^{\alpha }A_{\alpha }=|{\vec {A}}|^{2}-{\frac {\phi ^{2}}{c^{2}}}\qquad \left(A^{a}A_{a}\,=|{\vec {A}}|^{2}-\phi ^{2}\right)}$

é o mesmo em cada quadro referencial inercial.

Frequentemente, físicos empregam a condição gauge de Lorenz ${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0}$ para simplificar as equações de Maxwell como:

${\displaystyle \Box ^{2}A_{\alpha }=-\mu _{0}J_{\alpha }\qquad \left(\Box ^{2}A_{\alpha }=-{\frac {4\pi }{c}}J_{\alpha }\right)}$

onde ${\displaystyle J_{\alpha }}$ são os componentes do quadricorrente,

e

${\displaystyle \Box ^{2}=\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}$ é o operador d'Alembertiano.

Em termos dos pontenciais escalar e vetorial, esta última equação torna-se:

${\displaystyle \Box ^{2}\phi =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\qquad \left(\Box ^{2}\phi =-4\pi \rho \right)}$

${\displaystyle \Box ^{2}{\vec {A}}=-\mu _{0}{\vec {j}}\qquad \left(\Box ^{2}{\vec {A}}=-{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\right)}$