Reductio ad absurdum

Reductio ad absurdum (latim para "redução ao absurdo"[1][2][nota 1]), é um tipo de argumento lógico no qual alguém assume uma ou mais hipóteses e, a partir destas, deriva uma consequência absurda ou ridícula, e então conclui que a suposição original deve estar errada. O argumento se vale do princípio da não-contradição (uma proposição não pode ser, ao mesmo tempo, verdadeira e falsa) e do princípio do terceiro excluído (uma proposição é verdadeira ou é falsa, não existindo uma terceira possibilidade).

Descrição

Na lógica formal, reductio ad absurdum é usado quando uma contradição formal pode ser derivada de uma premissa, o que permite que alguém possa concluir que a premissa é falsa. Se uma contradição é derivada de uma série de premissas, isso mostra que pelo menos uma das premissas é falsa, mas outros meios devem ser utilizados para determinar qual delas.

Um exemplo de raciocínio dedutivo por redução ao absurdo foi a elegante prova matemática da irracionalidade da raiz quadrada de 2 apresentada por Aristóteles em Analytica Priora[3]. Supondo que exista uma raiz racional de 2, e que ela possa ser expressa na forma a/b irredutível, é possível demonstrar que b deve ser par e também que a deve ser par. Se a fração a/b é irredutível, então a e b não podem ser par simultaneamente, pois, isso geraria uma fração redutível. Conclui-se, portanto, que a raiz quadrada de 2 não pode ser expressa por um número racional.

Reductio ad absurdum também é usado muitas vezes para descrever um argumento no qual uma conclusão é derivada de uma crença que todos (ou pelo menos aqueles que argumentam contrariamente) aceitarão como falsa ou absurda. No entanto, essa é uma forma débil de redução, uma vez que a decisão de rejeitar a premissa requer que a conclusão seja aceita como absurda. Embora uma contradição formal seja, por definição, absurda (inaceitável), um argumento reductio ad absurdum simplório pode ser rejeitado simplesmente aceitando-se propositadamente a conclusão absurda, pois ela por si própria deixará transparecer o seu teor paradoxal.

Há uma concepção errônea comum de que reductio ad absurdum simplesmente denota um "argumento bobo" e é por si só uma falácia lógica. Contudo, isso não é correto. Uma redução ao absurdo apropriadamente estruturada constitui um argumento válido.

Na lógica matemática

A tabela de verdade da implicação é descrita da seguinte forma numa lógica binária (em que 1 = Verdade, 0 = Falso):[4]

 a   b  a ⇒ b
111
100
011
001

Na implicação a ⇒ b usam-se as designações:

  • a é denominada hipótese;
  • b é denominada tese.

A demonstração da tese é fundamentada pela hipótese, por uma sequência de passos lógicos.

Se a hipótese for falsa, então qualquer tese pode ser demonstrada, porque por definição, a implicação é verdadeira sempre que se usa uma premissa falsa.

No entanto a hipótese falsa pode servir para as "demonstrações por absurdo".

Com efeito partindo de uma hipótese a e deduzindo uma tese falsa b=0 (por contradição é ¬a, porque (a∧¬a)≡0) isso significa

a ⇒ 0

e aqui aplica-se a regra Modus tollens. Ou seja, admite-se que a dedução foi correta, logo a implicação é verdadeira, ou seja,

(a ⇒ 0) é verdade = 1,

mas consultando a tabela, vemos que a ⇒ 0 é 1 só quando a=0.

Portanto, deduzindo uma contradição de a, resulta que a negação de a é verdadeira, em lógica binária.

Hipótese com várias hipóteses

Por abuso de linguagem, falam-se em hipóteses quando a hipótese a resulta de conjunção de duas (ou mais) partes

a = s ∧ h

onde as hipóteses s são as regras assumidas axiomaticamente, ou por aí deduzidas, e apenas a parte h é a nova hipótese a ser testada.

Nesse caso, sabemos que a=0 se e só se s = 0 ou h = 0. Portanto, assumindo que s = 1, então é a nova hipótese que é necessariamente falsa, h = 0.

Cálculo proposicional

No cálculo proposicional da lógica matemática, a redução ao absurdo pode expressar-se da seguinte forma:[5]

o que significa que se de um sistema (lista de axiomas, ou suas deduções) ao juntar a hipótese , deduzimos e também , então nesse sistema infere-se (o que corresponde ao mesmo descrito anteriormente).

Referências
  1. "Internet Encyclopedia of Philosophy" como citado na página da Wikipédia em inglês. (disprova a ideia do Ad Absurdum ser uma falácia)
  2. A prova por redução ao absurdo na lógica clássica, por Maria da Paz Nunes de Medeiros. Princípios, vol. 2, Nº. 2, 1995. Dept. de Filosofia UFRN. ISSN 0104-8694. Acessada em 10-07-2011.
  3. Raiz quadrada de 2, na Wikipedia em inglês
  4. Lógica Matemática Grupo de Matemática da Universidade Técnica de Lisboa, 2004
  5. Reductio ad absurdum. S.Yu. Maslov (originator), Encyclopedia of Mathematics.Springer/EMS.

Notas
  1. provavelmente originário do grego ἡ εις άτοπον απαγωγη, transl. e eis átopon apagoge, que significaria algo próximo a "redução ao impossível", expressão frequentemente usada por Aristóteles, também conhecida como um argumento apagógico, reductio ad impossibile ou, ainda, prova por contradição.
  1. provavelmente originário do grego ἡ εις άτοπον απαγωγη, transl. e eis átopon apagoge, que significaria algo próximo a "redução ao impossível", expressão frequentemente usada por Aristóteles, também conhecida como um argumento apagógico, reductio ad impossibile ou, ainda, prova por contradição.

Ligações externas
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.