Representação espectral de Källén-Lehmann

Para se obter uma representação espectral para o propagador de um campo ${\displaystyle \Phi (x)}$, é necessário considerar um conjunto de estados ${\displaystyle \{|n\rangle \}}$ de forma que, a função correlacional pode ser escrita como

${\displaystyle \langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\sum _{n}\langle 0|\Phi (x)|n\rangle \langle n\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle .}$

Agora utilizando o grupo de Poincaré do vácuo, obtêm-se

${\displaystyle \langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\sum _{n}e^{-ip_{n}\cdot (x-y)}|\langle 0|\Phi (0)|n\rangle |^{2}.}$

Introduzindo-se a função de densidade espectral

${\displaystyle \rho (p^{2})\theta (p_{0})(2\pi )^{-3}=\sum _{n}\delta ^{4}(p-p_{n})|\langle 0|\Phi (0)|n\rangle |^{2}.}$

Pode-se utilizar o facto que a função correlacional, sendo uma função de ${\displaystyle p_{\mu }}$, apenas pode depender de ${\displaystyle p^{2}}$. Além disto, todos os estados intermediários possuem ${\displaystyle p^{2}\geq 0}$ e ${\displaystyle p_{0}>0}$. Logo percebe-se que a função de densidade espectral será real e positiva. Então pode-se escrever que

${\displaystyle \langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{3}}}\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}e^{-ip\cdot (x-y)}\rho (\mu ^{2})\theta (p_{0})\delta (p^{2}-\mu ^{2})}$

e pode-se trocar a integral livremente, obtendo-se a expressão

${\displaystyle \langle 0|\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})\Delta '(x-y;\mu ^{2})}$

onde

${\displaystyle \Delta '(x-y;\mu ^{2})=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{3}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\theta (p_{0})\delta (p^{2}-\mu ^{2})}$.

Do teorema CPT sabe-se que uma expressão idêntica pode ser obtida para ${\displaystyle \langle 0|\Phi ^{\dagger }(x)\Phi (y)|0\rangle }$ e então conclui-se da expressão para o produto de campos cronologicamente ordenados

${\displaystyle \langle 0|T\Phi (x)\Phi ^{\dagger }(y)|0\rangle =\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})\Delta (x-y;\mu ^{2})}$

onde

${\displaystyle \Delta (p;\mu ^{2})={\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }}}$

é um propagador de partícula. Obtém-se a decomposição espectral.

• Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields: Volume I Foundations. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-55001-7
• PESKIN, Michael; SCHOEDER, Daniel (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. [S.l.]: Perseus Books Group. ISBN 0-201-50397-2 !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
• Zinn-Justin, Jean (1996). Quantum Field Theory and Critical Phenomena 3rd ed. [S.l.]: Oxford University Press. ISBN 0-19-851882-X

• «Källén-Lehmann spectral representation» (em inglês)