Série de Liouville-Neumann

Uma série de Liouville-Neumann é definida por

${\displaystyle \phi \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}\phi _{n}\left(x\right)}$,

que é a única solução contínua de uma equação integral de Fredholm do segundo tipo

${\displaystyle f(t)=\phi (t)-\lambda \int _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)\,ds}$.

Se o núcleo iterado de ordem n é definido por

${\displaystyle K_{n}\left(x,z\right)=\int \int \cdots \int K\left(x,y_{1}\right)K\left(y_{1},y_{2}\right)\cdots K\left(y_{n-1},z\right)dy_{1}dy_{2}\cdots dy_{n-1}}$

então

${\displaystyle \phi _{n}\left(x\right)=\int K_{n}\left(x,z\right)f\left(z\right)dz}$.

O núcleo resolvente é dado por

${\displaystyle K\left(x,z;\lambda \right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}K_{n+1}\left(x,z\right)}$.

A solução da equação integral é:

${\displaystyle \phi \left(x\right)=\int K\left(x,z;\lambda \right)f\left(z\right)dz}$.

Métodos similares podem ser usados para resolver equações integrais de Volterra.