Técnicas para diferenciação

Este artigo contém uma lista de técnicas para a diferenciação de funções reais, categorizadas por tipo.

Funções polinomiais simples

Dado um polinômio $p(x)$ , que é definido pela fórmula:

p(x)=\sum _{i=0}^{m}k_{i}x^{i}

, tem-se

{\frac {d}{dx}}p(x)=\sum _{i=1}^{m}ik_{i}x^{i-1}.

Que é, simples multiplicação de cada termo por seu grau, então dividir-se por ’’ $x$ ’’. Por exemplo, pode-se diferenciar $\scriptstyle {\sqrt {x}}+5x$ . Primeiramente, divide-se em seus termos componentes: $\scriptstyle {\sqrt {x}}$ e $5x$ . $\scriptstyle {\sqrt {x}}$ é igual a $x^{1/2}$ , significando que sua derivada é $\scriptstyle 1/2{\sqrt {x}}$ , ou metade do recíproco do valor. $5x$ simplesmente torna-se 5, dando-nos:

{\frac {d}{dx}}({\sqrt {x}}+5x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}+5={\frac {1+10{\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x}}}}.

Funções exponenciais

Dada uma função “f(x)” igual a b^x, sua derivada pode ser encontrada pela seguinte fórmula:

{\frac {d}{dx}}b^{x}=b^{x}\ln b

onde “ln b” é o logaritmo natural de b. Usando-se esta fórmula, nós podemos diferenciar 225^x por multiplicar por ln 225 = ln 15² = 2 ln 15 = 2(ln 3 + ln 5). (Ver Logaritmo natural). Assim, finalmente, temos 225^x 2 ln 3 + 225^x 2 ln 5.

Demonstração

{\frac {d}{dx}}b^{x}

={\frac {d}{dx}}e^{\ln b^{x}}

Uma propriedade dos logaritmos.

={\frac {d}{dx}}e^{x\ln b}

Outra propriedade dos logaritmos

=\left({\frac {d}{dx}}x\ln b\right)\left(e^{x\ln b}\right)

Da regra da cadeia.

=\left(\ln b\right)\left(e^{\ln b^{x}}\right)

=b^{x}\ln b

Funções logarítmicas

Todas as funções logarítmicas podem ser diferenciadas via uma fórmula muito similar aquela para funções exponenciais. A inclinação de qualquer função logarítmica em um ponto x é igual ao inverso de x vezes o logaritmo natural da base, ou:

{\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}.

Através disto podemos diferenciar o próprio logaritmo natural. Naturalmente, a base do logaritmo natural é e, e o logaritmo de base x de x é sempre um. Portanto, o logaritmo natural de e é um. Sabendo disso, podemos achar que o declive do logaritmo natural em qualquer ponto é igual ao inverso da altura naquele ponto.

Demonstração

Tendo-se

y=\log _{b}x

.

Então

b^{y}=x

.

e^{\ln b^{y}}=x

e^{y\ln b}=x

Usando-se diferenciação implícita.

\left(e^{y\ln b}\right)\left({\frac {d}{dx}}y\ln b\right)=1

\left(e^{\ln b^{y}}\right)\left({\frac {dy}{dx}}\right)\left(\ln b\right)=1

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{(b^{y})(\ln b)}}

Desde que $y=\log _{b}x$ e $b^{y}=x$ , ${\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}$ .

Funções trigonométricas simples

${\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x$

${\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x$

${\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x$

${\frac {d}{dx}}\sec x=\tan x\sec x$

${\frac {d}{dx}}\csc x=-\cot x\csc x$

${\frac {d}{dx}}\cot x=-\csc ^{2}x$

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Para uma extensa lista de derivadas de funções trigonométricas, funções hiperbólicas, suas inversas, e demonstrações, ver tabela de derivadas e diferenciação de funções trigonométricas.

Ver também

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