Tabela-verdade

Tabela-verdade, tabela de verdade ou tabela veritativa é um tipo de tabela matemática usada em lógica para determinar se uma fórmula é válida ou se um sequente é correto.

As tabelas-verdade derivam do trabalho de Gottlob Frege, Charles Peirce e outros nomes da década de 1880, e tomaram a forma atual em 1922 através dos trabalhos de Emil Post e Ludwig Wittgenstein. A publicação do Tractatus Logico-Philosophicus, de Wittgenstein, utilizava as mesmas para classificar funções veritativas em uma série. A vasta influência de seu trabalho levou, então, à difusão do uso de tabelas da verdade.

Como construir uma tabela-verdade

Uma tabela-verdade consiste em:

uma linha em que estão contidos todas as subfórmulas de uma fórmula. Por exemplo, a fórmula ¬((A∧B)→C) tem o seguinte conjunto de subfórmulas:
{ ¬((A∧B)→C) , (A∧B)→C , A∧B , A , B , C}
L linhas em que estão todos possíveis valores que os termos podem receber e os valores cujas fórmulas moleculares tem dados os valores destes termos;
o número destas linhas é L = n^t , sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do cálculo proposicional clássico) e t o número de termos que a fórmula contém; assim, se uma fórmula contém 2 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos termos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos termos são falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos termos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois termos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos termos são falsos (F F F).

Para proposições com mais de três termos, basta seguir o mesmo raciocínio apresentado nas imagens acima.

Tabelas das principais operações do cálculo proposicional

Negação (~)

A	~A
V	F
F	V

A negação da proposição "A" é a proposição "~A", de maneira que se "A" é verdade então "~A" é falsa, e vice-versa.

Obs.: Usando o Excel, tal proposição pode ser expressado da seguinte maneira: =NÃO(C1;C2)

Conjunção (∧)

A	B	A ∧ B
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

A conjunção é verdadeira se e somente se ambos os operandos são verdadeiros.

Obs.: Usando o Excel, tal proposição pode ser expressado da seguinte maneira: =E(C1;C2)

Disjunção (v)

A	B	AvB
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

[1]

A disjunção é falsa se, e somente se ambos os operandos forem falsos.

Obs.: Usando o Excel, tal proposição pode ser expressado da seguinte maneira: =OU(C1;C2)

Disfunção (f)

A	B	AfB
V	V	F
V	F	F
F	V	F
F	F	F

A disfunção é necessariamente falsa, independente dos operandos.

Condicional (se... então) [implicação]

A	B	A→B
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

A condicional é falsa se, e somente se, o primeiro operando é verdadeiro e o segundo operando é falso.

Bicondicional (se e somente se) [equivalência]

A	B	A↔B
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

A bicondicional é verdadeira se, e somente se, ambos operandos forem falsos ou ambos verdadeiros. Trata-se de um detetor de igualdade.

Disjunção exclusiva (OU EXCLUSIVO... ou XOR)

A	B	A∨B
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

A disjunção exclusiva é verdadeira se, e somente se, apenas um dos operandos for verdadeiro. Trata-se de um detetor de desigualdades.

Adaga de Quine (NOR)

A	B	A∨B	A↓B
V	V	V	F
V	F	V	F
F	V	V	F
F	F	F	V

A Adaga de Quine (negação da disjunção) é verdadeira se e somente se os operandos são falsos.

Como usar tabelas para verificar a validade de argumentos

Verifique se a conclusão nunca é falsa quando as premissas são verdadeiras. Em caso positivo, o argumento é válido. Em caso negativo, é inválido.

Alguns argumentos válidos

Modus ponens

\left\{A\to B\ ,A\right\}\vDash B

A	B	A→B
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

[2]

Modus tollens

\left\{A\to B\ ,\neg B\right\}\vDash \neg A

A	B	¬A	¬B	A→B
V	V	F	F	V
V	F	F	V	F
F	V	V	F	V
F	F	V	V	V

Silogismo hipotético

\left\{A\to B,B\to C\right\}\vDash A\to C

A	B	C	A→B	B→C	A→C
V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F
V	F	V	F	V	V
V	F	F	F	V	F
F	V	V	V	V	V
F	V	F	V	F	V
F	F	V	V	V	V
F	F	F	V	V	V

Algumas falácias

Afirmação do consequente

Se A, então B. (A→B)

B.

Logo, A.

A	B	A→B
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Comutação dos condicionais

A implica B. (A→B)

Logo, B implica A. (B→A)

A	B	A→B	B→A
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	V	F
F	F	V	V

Como usar tabelas para verificar a equivalência de fórmulas

A∧B ≡ ¬(B→¬A) ≡ ¬(¬A∨¬B) ≡ ¬A↓¬B

A	B	¬A	¬B	A∧B	B→¬A	¬(B→¬A)	¬A∨¬B	¬(¬A∨¬B)	¬A↓¬B
V	V	F	F	V	F	V	F	V	V
V	F	F	V	F	V	F	V	F	F
F	V	V	F	F	V	F	V	F	F
F	F	V	V	F	V	F	V	F	F

A→B ≡ ¬(A∧¬B) ≡ ¬A∨B ≡ ¬(¬A↓B)

A	B	¬A	¬B	A→B	A∧¬B	¬(A∧¬B)	¬A∨B	¬A↓B	¬(¬A↓B)
V	V	F	F	V	F	V	V	F	V
V	F	F	V	F	V	F	F	V	F
F	V	V	F	V	F	V	V	F	V
F	F	V	V	V	F	V	V	F	V

A∨B ≡ ¬(¬A∧¬B) ≡ ¬A→B ≡ ¬(A↓B)

A	B	¬A	¬B	¬A∧¬B	¬(¬A∧¬B)	¬A→B	A↓B	¬(A↓B)
V	V	F	F	F	V	V	F	V
V	F	F	V	F	V	V	F	V
F	V	V	F	F	V	V	F	V
F	F	V	V	V	F	F	V	F

Resumo das tabelas das operações do cálculo proposicional

n	Operação 1	Operação 2					nome
	A		V	V	F	F
	B		V	F	V	F
0	A∧¬A	B∧¬B	F	F	F	F	Contradição
1	A↓B	¬(A∨B)	F	F	F	V	p nor q
2	¬(B→A)	B∧¬A	F	F	V	F	Negação da condicional
3	¬A		F	F	V	V	not A
4	¬(A→B)	A∧¬B	F	V	F	F	Negação da condicional
5	¬B		F	V	F	V	not B
6	A∨B	A $\oplus$ B	F	V	V	F	xor
7	¬(A∧B)	¬(B∧A)	F	V	V	V	nand
8	A∧B	B∧A	V	F	F	F	Conjunção
9	A↔B	B↔A	V	F	F	V	Bicondicional
10	B		V	F	V	F	B
11	A→B	¬A∨B	V	F	V	V	Condicional
12	A		V	V	F	F	A
13	B→A	A∨¬B	V	V	F	V	Condicional
14	A∨B	B∨A	V	V	V	F	Disjunção
15	A∨¬A	B∨¬B	V	V	V	V	Tautologia

Ver também

Referências

«O Monitor - Resolve, confere e ilustra». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016
«Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016

Ligações externas

Karma: software acadêmico para visualização e solução de mapas de Karnaugh de 2 até 8 variáveis. Inclui tabelas verdade e outras ferramentas de síntese lógica. LogiCS, UFRGS.

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[1] «O Monitor - Resolve, confere e ilustra». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016

[2] «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016