Teorema de Frege

Na metalógica e na metamatemática, o teorema de Frege é um metateorema que afirma que os axiomas de Peano da aritmética podem ser derivados em lógica de segunda ordem a partir do princípio de Hume. Foi primeiro provado, de forma informal, por Gottlob Frege em seu trabalho de 1884 Die Grundlagen der Arithmetik (Os Fundamentos da Aritmética)[1] e provado de forma mais formal em sua obra de 1893 Grundgesetze der Arithmetik I (Leis Básicas da Aritmética I).[2] O teorema foi redescoberto por Crispin Wright no início da década de 1980 e desde então tem sido objeto de trabalhos significativos. Está no cerne da filosofia da matemática conhecida como neo-logicismo (pelo menos da variedade da Escola Escocesa).

Visão Geral

Em Os Fundamentos da Aritmética (1884), e posteriormente, em Leis Básicas da Aritmética (vol. 1, 1893; vol. 2, 1903), Frege tentou derivar todas as leis da aritmética a partir de axiomas que ele afirmava serem lógicos (veja logicismo). A maioria desses axiomas foi herdada de sua Begriffsschrift; o único princípio verdadeiramente novo foi aquele que ele chamou de Lei Básica V[2]:[3] o "intervalo de valores" da função f(x) é o mesmo que o "intervalo de valores" da função g(x) se e somente se ∀x[f(x) = g(x)]. No entanto, não apenas a Lei Básica V falhou em ser uma proposição lógica, mas o sistema resultante mostrou-se inconsistente, pois estava sujeito ao paradoxo de Russell.[4]

A inconsistência nas Grundgesetze de Frege ofuscou a realização de Frege: segundo Edward Zalta, as Grundgesetze "contém todos os passos essenciais de uma prova válida (em lógica de segunda ordem) das proposições fundamentais da aritmética a partir de um único princípio consistente."[4] Esta realização ficou conhecida como o teorema de Frege.[4][5]

Referências
  1. Gottlob Frege, Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau: Verlag von Wilhelm Koebner, 1884, §63.
  2. Gottlob Frege, Grundgesetze der Arithmetik I, Jena: Verlag Hermann Pohle, 1893, §§20 and 47.
  3. Richard Pettigrew, "Basic set theory", January 26, 2012, p. 2.
  4. Zalta, Edward (2013), «Frege's Theorem and Foundations for Arithmetic», Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  5. Boolos, George (1998). Logic, Logic, and Logic. Edited by Richard C. Jeffrey, introduction by John P. Burgess. Cambridge, Mass: Harvard University Press. p. 154. ISBN 9780674537675. OCLC 37509971. A descoberta surpreendente de Frege, da qual ele pode ou não ter sido plenamente consciente e que foi perdida de vista desde a descoberta do paradoxo de Russell, foi que a aritmética pode ser derivada em um sistema puramente lógico como o de sua Begriffsschrift a partir deste princípio consistente e dele sozinho.
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