Teorema de Landau–Yang

Considere o referencial em que a partícula instável está parada e que os fótons decaem na direção ${\displaystyle z}$. Nessa configuração, o momento angular orbital dos produtos de decaimento terá sempre projeção do momento angular orbital ${\displaystyle m_{\ell }=0}$. Esse resultado é imediato já que ${\displaystyle L_{z}=xp_{y}-yp_{x}}$ e o momento dos fótons está na direção ${\displaystyle z}$.

A projeção do momento angular de spin do sistema de dois fótons tem dois valores possíveis. Ela pode ser ${\displaystyle m_{s}=\pm 2}$ (em unidades de ${\displaystyle \hbar }$, o que será sempre assumido daqui para frente) ou ${\displaystyle m_{s}=0}$. Como a parte orbital não pode contribuir com momento angular nessa direção, é impossível usar as combinações com ${\displaystyle m_{s}=\pm 2}$ para formar um estado inicial com ${\displaystyle J=1}$. As combinações com projeção zero são convenientemente escolhidas como simétricas ou anti-simétricas por troca de partículas:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[|+1,-1\rangle -|-1,+1\rangle \right]}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[|+1,-1\rangle +|-1,+1\rangle \right]}$

O estado anti-simétrico por troca dos dois fótons idênticos exige, pelo teorema de spin-estatística, que a função de onda orbital seja também anti-simétrica e, logo, com momento angular ímpar. Como a helicidade apenas diz como o sistema se transforma por rotações em torno do eixo ${\displaystyle z}$, não é possível identificar o estado final com um único spin. Contudo, devido ao comportamento por rotações em torno do eixo ${\displaystyle z}$ e por ser anti-simétrico por troca de partículas, sabe-se que o estado é exclusivamente decomposto naqueles com ${\displaystyle S}$ ímpar e ${\displaystyle m_{s}=0}$.

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[|+1,-1\rangle -|-1,+1\rangle \right]=\sum _{S=1,3,\ldots }\alpha _{s}|S,m_{s}=0\rangle }$

Para formar um estado inicial com ${\displaystyle J=1}$, precisa-se então combinar cada estado acima com o momento angular orbital tal que ${\displaystyle L=S}$. Contudo, é impossível esse usar esses estados já que o coeficiente de Clebsch–Gordan[4] para:

${\displaystyle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1};j_{2}\,m_{2}\rangle =\langle 1\,0|S\,0;S\,0\rangle =0}$

é nulo para qualquer ${\displaystyle S}$ e eles não contribuem para um estado com ${\displaystyle J=1}$. Na verdade, esse resultado é válido para qualquer ${\displaystyle J}$ ímpar e pode-se tornar o teorema um pouco mais forte: o decaimento para dois fótons de uma partícula com spin ímpar e com auto-valor ${\displaystyle -1}$ por paridade, através de uma interação que preserve paridade, é sempre impossível.

A igualdade acima pode ser imediatamente verificada usando a propriedade de simetria dos coeficientes de Clebsch–Gordan[5]:

${\displaystyle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1};j_{2}\,m_{2}\rangle =(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle J\,(-M)|j_{1}\,(-m_{1});j_{2}\,(-m_{2})\rangle }$

O estado simétrico também não identificável com uma única representação massiva. Contudo, devido ao seu comportamento por troca de partículas e por rotações em torno do eixo ${\displaystyle z}$, ele só pode ser decomposto em representações com ${\displaystyle S}$ par e ${\displaystyle m_{s}=0}$ o que, pelo teorema de spin-estatística, implica que o momento angular orbital tem que ser par, limitando-o então ao caso ${\displaystyle L=S}$. Igual ao caso acima, isso implica que o coeficiente de Clebsch–Gordan é zero. Entretanto, diferente do caso acima, para spins maiores 2, pode-se usar as componentes com projeção ${\displaystyle \pm 2}$ e não há uma regra de seleção adicional em decaimentos que preservem paridade.

Para campos com graus de liberdade internos, como glúons, pode-se ter, por exemplo, ${\displaystyle S=0}$, ${\displaystyle L=1}$ e a função de onda de cor também anti-simétrica (por exemplo, nas representações ${\displaystyle \mathbf {8} ,\mathbf {10} ,{\overline {\mathbf {10} }}}$), contornando a demonstração do teorema. No decaimento para campos massivos, a projeção com ${\displaystyle m_{s}=\pm 1}$, para a qual o coeficiente de Clebsch–Gordan não é nulo, é possível e novamente se contorna a demonstração do teorema.

Uma demonstração alternativa, que não faz tanto uso direto da álgebra de momento angular na mecânica quântica, é dada pela construção explícita da amplitude invariante. No gauge de Coulomb, a amplitude invariante deve ser um escalar rotacional construído com os vetores ${\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {k} _{1}=-\mathbf {k} _{2},\mathbf {s} ,\mathbf {\epsilon } _{1},\mathbf {\epsilon } _{2}}$ (momento dos fótons, vetor de spin da partícula instável e polarizações dos fótons). Tanto os vetores de spin quanto as polarizações são normalizados ${\displaystyle s^{2}=\epsilon _{(1,2)}^{2}=1}$ e, pela condição de gauge, ${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {\epsilon } _{(1,2)}=0}$. Além disso, amplitude deve ser linear em cada um dos ${\displaystyle \mathbf {s} ,\mathbf {\epsilon } _{1},\mathbf {\epsilon } _{2}}$. Só há três combinações que satisfazem essas condições:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=H_{1}(k^{2})(\mathbf {k} \cdot \mathbf {s} )(\mathbf {\epsilon } _{1}\cdot \mathbf {\epsilon } _{2})+H_{2}(k^{2})[\mathbf {s} \cdot (\mathbf {\epsilon } _{1}\times \mathbf {\epsilon } _{2})]+H_{3}(k^{2})[\mathbf {k} \cdot (\mathbf {\epsilon } _{1}\times \mathbf {\epsilon } _{2})](\mathbf {k} \cdot \mathbf {s} )}$

Onde o primeiro termo é par por paridade e os dois últimos ímpares. Contudo, os três termos acima são anti-simétricos por troca ${\displaystyle \epsilon _{1}\leftrightarrow \epsilon _{2}}$ e ${\displaystyle \mathbf {k} \rightarrow -\mathbf {k} }$, violando o teorema de spin-estatística. No caso em que momento angular é conservado, mas a estatística de Bose não é obedecida, os três termos acima são possíveis e usados em procura por violações dessa estatística.[6]

O resultado do teorema e consequências adicionais podem ser resumidos na seguinte tabela que lista os possíveis valores da soma das helicidades dos fótons (em unidades de ${\displaystyle \hbar }$) para cada valor J do spin da partícula instável massiva que decai e sua paridade.

Existem ferramentas on-line para fazer as decomposições simétricas e anti-simétricas de produtos tensoriais de representações álgebras de Lie em representações irredutíveis. Essas ferramentas podem ser usadas para verificar os diversos resultados algébricos mencionados nesse artigo.

• Baseado no software LiE, http://wwwmathlabo.univ-poitiers.fr/~maavl/LiE/form.html
• Para o cálculo de coeficientes de Clebsch–Gordan, http://www.ph.surrey.ac.uk/~phs3ps/cgjava.html