Teorema de Niven

Em matemática, o teorema de Niven (em inglês: Niven's theorem), denominado em memória de Ivan Morton Niven, estabelece que somente valores racionais de θ no intervalo 0 ≤ θ ≤ 90 para o qual o seno de θ graus é também um número racional são:[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} \left(0^{\circ }\right)&=0,\\[10pt]\operatorname {sen} \left(30^{\circ }\right)&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\operatorname {sen} \left(90^{\circ }\right)&=1.\end{aligned}}}$

Em radianos, requerendo que ${\displaystyle 0\leq x\leq \pi /2}$, ${\displaystyle x/\pi }$ seja racional e ${\displaystyle \operatorname {sen} \left(x\right)}$ seja racional, a conclusão é então que os únicos valores são ${\displaystyle \operatorname {sen} \left(0\right)=0}$, ${\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}}$ e ${\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}\right)=1}$.

O teorema aparece como corolário 3.12 no livro de Niven sobre números irracionais.[2]

O teorema pode ser estendido a outras funções trigonométricas.[2] Para valores racionais de θ, os únicos valores racionais de seno ou cosseno são 0, ±1/2 e ±1; os únicos valores racionais da secante ou cossecante são ±1 e ±2; e os únicos valores racionais da tangente ou cotangente são 0 e ±1.