Teorema de Rivlin-Ericksen

O teorema afirma que sr ${\displaystyle \mathbf {C} }$ é o tensor de resposta que relaciona o tensor gradiente de deformação F com o tensor tensão T de um material objetivo e isotrópicoo, cujo tensor gradiente de deformação é F então seu tensor tensão é dado por:

${\displaystyle T=\mathbf {C} (F)={\bar {\mathbf {C} }}(FF^{T})}$

Onde:

${\displaystyle {\bar {\mathbf {C} }}:\mathbf {S_{>3}\subset {M_{3}}} \to \mathbf {S_{3}} \subset {\mathbf {M_{3}} }}$

${\displaystyle {\bar {\mathbf {C} }}(E)=\beta _{0}(\iota _{E})I+\beta _{1}(\iota _{E})E+\beta _{2}(\iota _{E})E^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {M_{3}} }$, conjunto de matrizes de 3×3.

${\displaystyle \mathbf {S_{3}} }$, conjunto de matrizes 3×3 simétricas.

${\displaystyle \mathbf {S_{>3}} }$, conjunto de matrizes 3×3 simétricas definidas positivas.

${\displaystyle \iota _{E}}$, conjunto de invariantes algébricos (traço, invariante quadrático e determinante), da matriz E.

Tendo-se em conta que relação entre o tensor gradiente de deformação F, o tensor de Finger B = FF^T e o tensor deformação espacial (de Almansi) D_e é simplesmente:

${\displaystyle B=FF^{T}=(I-2D_{e})^{-1}\,}$

Onde I é a matriz identidade, pode ver-se qual é a forma mais geral possível de tensor resposta ou equação constitutiva de um material isotrópico:

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle T = \beta_0(\iota_B)I + \beta_1(\iota_B)(I-2D_e)^{-1} + \beta_2(\iota_B)(I-2D_e)^{-2}\,}

Para o caso de sólidos elásticos lineares se pode demonstrar rigorosamente a partir do teorema de Rivlin-Ericksen que o tensor tensão T e o tensor deformação D estão relacionados por:

${\displaystyle T=\mathbf {C} (I+2D)=\lambda tr(D)I+2\mu D}$

Onde λ w μ recebem os nomes de primeiro e segundo coeficientes de Lamé, e são constantes elásticas específicas de cada material. Ou seja, um sólido elástico linear tem:

${\displaystyle \beta _{0}(\iota _{D})=\lambda tr(D)-\mu$ ;\qquad \beta _{1}(\iota _{D})=\mu ;\qquad \beta _{2}(\iota _{E})=0\,}

• «Contribuções de Rivlin à mecânica da fratura» (em espanhol). - www.rubberconsultants.com

• Dietrich Braess, Finite Elements: Theory, fast solvers and aplications in solid mechanics, Cambridge University Press, 1997, pp. 254–255.
• Tomas Carlsson, Frank M. Leslie: The development of theory for flow and dynamic effects for nematic liquid crystals, Liquid Crystals, V 26, N 9 / September 1, 1999, pp. 1267 – 1280, URL: taylorandfrancis.metapress.com