Teorema de Steinhaus

Seja ${\displaystyle S\,}$ um subconjunto dos números reais com medida de Lebesgue positiva então a diferença ${\displaystyle S-S:=\{x-y:x,y\in S\}\,}$ contém uma vizinhança da origem.

Seja ${\displaystyle S\,}$ um conjunto mensurável à Lebesgue com a seguinte propriedade de densidade:

${\displaystyle \mu (S\cap [a,b])\leq \rho (b-a)}$

onde ${\displaystyle 0\leq \rho <1\,}$ Então ${\displaystyle S\,}$ tem conjunto de medida zero.

Suponha, por absurdo, que ${\displaystyle S\,}$ tem medida positiva. Fixe ${\displaystyle 1<k<{\frac {1}{\rho }}\,}$

Pela definição de medida de Lebesgue, existem intervalos ${\displaystyle \{(a_{n},b_{n})\}_{n=1}^{\infty }\,}$ tais que:

${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }(a_{n},b_{n})\supseteq S\Longrightarrow S=\bigcup _{n=1}^{\infty }S\cap (a_{n},b_{n})\,}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-a_{n})\leq k\mu (S)\,}$

Portanto: ${\displaystyle \mu (S)\leq \sum _{n=1}^{\infty }\mu \left(S\cap (a_{n},b_{n})\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }\rho (b_{n}-a_{n})\leq \rho k\mu (S)<\mu (S)\,}$ , uma contradição.

Escolha ${\displaystyle a\,}$ e ${\displaystyle b\,}$ tal que ${\displaystyle \mu \left([a,b]\cap S\right)>{\frac {3}{4}}(b-a)\,}$, defina ${\displaystyle E:=[a,b]\cap S\,}$ e:

${\displaystyle F:=E-E\,}$

Vamos mostrar que ${\displaystyle F\,}$ contém uma vizinhança da origem. Suponha por absurdo que não, ou seja, para todo ${\displaystyle \delta >0\,}$, existe ${\displaystyle x\,}$ tal que ${\displaystyle |x|<\delta \,}$ e ${\displaystyle x\notin F\,}$

Isso significa que ${\displaystyle E\cap (E+x)=\emptyset \,}$

Podemos estimar: ${\displaystyle \mu (E)=\mu (E\cap (E+x))+\mu (E\cap (E+x)^{c})\leq \mu ([a,b]\backslash (E+x))\leq (b-a)-\mu (E)+\delta \,}$

Equivalente a: ${\displaystyle \mu (E)\leq {\frac {(b-a)+\delta }{2}}\,}$, uma contradição se escolhermos ${\displaystyle \delta \,}$ suficientemente pequeno.