Teorema do encaixe de intervalos

Para cada n ∈ N, seja [a_n,b_n] um intervalo de números reais e suponha-se que a sucessão ([a_n,b_n])_n ∈ N é decrescente, ou seja

${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset [a_{3},b_{3}]\supset \cdots }$

Então existe algum número c que pertence a todos os intervalos [a_n,b_n], o que é o mesmo que dizer que

${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }[a_{n},b_{n}]\neq \emptyset .}$

Como a sucessão (a_n)_n ∈ N é crescente e é majorada (por todos os b_n), converge para algum número a e, analogamente, a sucessão (b_n)_n ∈ N converge para algum b. Como qualquer a_n é menor ou igual que qualquer b_n, tem-se a ≤ b. Por outro lado, é claro que, se x ∈ R, então

${\displaystyle x\geqslant a\Leftrightarrow (\forall n\in \mathbb {N} ):x\geqslant a_{n}}$

e

${\displaystyle x\leqslant b\Leftrightarrow (\forall n\in \mathbb {N} ):x\leqslant b_{n},}$

o que é o mesmo que dizer que:

${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }[a_{n},b_{n}]=[a,b]\neq \emptyset .}$

• Seja {[a_i,b_i] | i ∈ I} um conjunto de intervalos fechados de um intervalo [a,b] e suponha-se que qualquer qualquer parte finita daquele conjunto tem intersecção não vazia. Então

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}[a_{i},b_{i}]\neq \emptyset .}$

• Uma sucessão decrescente (K_n)_n ∈ N de partes fechadas, limitadas e não vazias de Rⁿ tem intersecção não vazia.