Análise complexa

A teoria das funções de variável complexa tem como um de seus principais objetivos a extensão do cálculo diferencial e integral para o domínio dos números complexos.[1] Seja A um conjunto de números complexos. Se ${\displaystyle z}$ denota qualquer um dos números do conjunto A, então ${\displaystyle z}$ é denominado uma variável complexa. Se existe uma correspondência entre os valores da variável complexa ${\displaystyle z}$ para com uma outra variável complexa ${\displaystyle w}$ para cada valor possível de ${\displaystyle z}$ (elementos do conjunto A), então ${\displaystyle w}$ é uma função da variável complexa z no conjunto A e isto é denotado como ${\displaystyle w=f(z).}$ O conjunto A é usualmente algum domínio, chamado domínio de definição da função ${\displaystyle w.}$

Como todo número complexo pode ser escrito na forma ${\displaystyle z=a+bi,}$ em que ${\displaystyle a=R(z),b=Im(z)}$ indicam a parte real e a parte imaginária do número complexo z, respectivamente, temos que é possível decompor a função complexa ${\displaystyle w=f(z)}$ na forma ${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y).}$ Como nas funções reais, existem diversas classes de funções que podem ser atribuídas às funções complexas, por exemplo:

${\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...+a_{n}z^{n},}$ em que z é uma variável complexa, é uma função polinomial em variável complexa.

Limites de funções complexas

Ver artigo principal: Limite de uma função

Seja f (z) uma função complexa definida nas vizinhanças do ponto z₀, sendo possivelmente não definida no próprio ponto z₀. De forma análoga ao caso real, define-se o limite L dessa função quando a variável z tende ao ponto z₀ como sendo o valor da qual ela se aproxima (caso este exista) conforme z fica arbitrariamente próximo de z₀. Em linguagem matemática formal, diz-se que

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}f(z)=L}$,

se, para cada número ε > 0 existe um outro número δ > 0 com a propriedade de que a desigualdade | f (z) - L | < ε é válida para todos os valores de z tais que | z - z₀ | < δ e z ≠ z₀.[2] Nessa definição, as barras || representam o módulo de um número complexo, definido como |z| = √x² + y² para z = x + yi, em que x e y são as partes real e complexa de z, respectivamente. Uma notação alternativa também utilizada para denotar um limite é ${\displaystyle f(z)\to L}$ para ${\displaystyle z\to z_{0}}$.[2]

Algumas propriedades típicas dos limites de funções reais também podem ser aplicadas às funções complexas, por exemplo: 1) o limite da soma é igual a soma dos limites; 2) o limite do produto é igual ao produto dos limites; 3) o limite do quociente é igual ao quociente dos limites (dado que o denominador não seja 0); ...

As condições de continuidade para as funções complexas são as mesmas de uma função real.

Derivada de uma função complexa

Ver artigo principal: Derivada

Tomemos, à semelhança das funções reais, o limite ${\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=f'(z_{0})={\frac {df}{dz}}(z_{0}),}$ denominado "derivada" da função ${\displaystyle f}$ em relação a ${\displaystyle z}$ no ponto ${\displaystyle z_{0}.}$ Assim, como nas funções reais, uma função complexa tem de ser contínua em um ponto para que seja diferenciável neste ponto (mas a recíproca não é necessariamente verdadeira). As principais fórmulas de diferenciação empregadas nas funções reais tem sua versão análoga para as funções complexas.

Suponha que a função f seja derivável em ${\displaystyle z_{0},}$ em que ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}:}$

$${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$$

$${\displaystyle f'(z)=a+ib}$$

$${\displaystyle \Delta f=f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}$$

$${\displaystyle \Delta u=u(x_{0}+\Delta x,y_{o}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})}$$

e ${\displaystyle \Delta v,}$ para a mudança correspondente em v(x,y). Então ${\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}}=a+ib}$

e também:

$${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\text{Re}}\left({\frac {\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}}\right)=a}$$

$${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\text{Im}}\left({\frac {\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}}\right)=b}$$

Em particular, quando ${\displaystyle \Delta y=0,}$ em que ${\displaystyle \Delta z=\Delta x,}$ esses limites se tornam limites de funções de uma variável (\Delta x) de forma que:

$${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {u(x_{0}+\Delta x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}=a}$$

$${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {v(x_{0}+\Delta x,y_{0})-v(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}=b}$$

ou seja, as derivadas parciais ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}}$ e ${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial x}}}$ com relação a x existem no ponto ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ e

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=a}$$

e

$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial x}}=b}$$

O procedimento análogo pode ser feito observando quando ${\displaystyle \Delta x=0(\Delta z=i\Delta y)}$ de forma que existem as derivadas parciais com relação a y e são elas:

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-b}$$

e

$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial y}}=a,}$$

no ponto ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Dos dois procedimentos, chegamos às equações:

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$$

Que são as Condições de Cauchy-Riemann. Como ${\displaystyle f'(z)=a+ib,}$ chegamos à expressão ${\displaystyle f'(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}},}$ no ponto ${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$ Estabelece-se o Teorema:

Teorema. Se a derivada ${\displaystyle f'(z)}$ de uma função ${\displaystyle f=u+iv}$ existe num ponto ${\displaystyle z,}$ então as derivadas parciais de primeira ordem, com relação a ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y,}$ de cada componente ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ devem existir naquele ponto e satisfazer as condições de Cauchy-Riemann. Além disso, ${\displaystyle f'(z)}$ é dada em termos de suas derivadas parciais pela equação ${\displaystyle f'(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}.}$

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis (3ª ed) (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill Book Company