Relação (matemática)

Matematicamente, uma relação é qualquer subconjunto de um produto cartesiano. Em termos mais explícitos, definimos uma relação ${\textstyle R}$ como sendo um conjunto de pares ordenados ${\textstyle \left(a,b\right)}$ tais que ${\textstyle a}$ pertença ao conjunto ${\textstyle A}$ e que ${\textstyle b}$ pertença ao conjunto ${\textstyle B}$, i.e.:

${\displaystyle R\subseteq A\times B=\left\{\left(a,b\right)|a\in A\land b\in B\right\}}$

Note-se que o próprio conjunto cartesiano é uma relação, dado que todo conjunto é subconjunto impróprio de si mesmo. Até o conjunto vazio pode ser considerado uma relação, mas deve-se tomar alguns cuidados em definições e teoremas para se evitarem paradoxos e contradições.

Relações de equivalência

Ver artigo principal: Relação de equivalência

É uma relação que possui as propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.

Relações de ordem

Ver artigo principal: Relação de ordem

É uma relação que possui as propriedades: reflexiva, anti-simétrica e transitiva.

Seja ${\textstyle R}$ uma relação de ${\textstyle A}$ para ${\textstyle B}$ e ${\textstyle S}$ uma relação de ${\textstyle B}$ para ${\textstyle C}$. Então podemos definir a relação composta de ${\textstyle S}$ com ${\textstyle R}$ dos conjuntos ${\textstyle A}$ com ${\textstyle C}$, usualmente denotada por ${\textstyle S\circ R}$. Ou seja, define-se:

${\displaystyle S\circ R:=\{(x,z)\in A\times C|\exists y\in B,(x,y)\in R\land (y,z)\in S\}\,}$

Um cuidado deve ser tomado com essa notação, que é consistente com a notação de função composta, porque S e R parecem estar invertidas.

Analogamente ao conceito de função inversa, podemos definir a relação inversa da relação ${\displaystyle R\subset A\times B\,}$:

${\displaystyle R^{-1}=\{(y,x)\in B\times A|(x,y)\in R\}\,}$

Note-se que nem sempre:

${\displaystyle RoR^{-1}=Id_{B}\,}$.

• Álgebra relacional

• Diagrama entidade relacionamento
• Função matemática
• Modelo relacional
• Relação binária
• Relação de equivalência
• Teoria da ordem