Teoria dos twistores

Denote o espaço Minkowski por ${\displaystyle M}$, com coordenadas ${\displaystyle x^{a}=(t,x,y,z)}$ e métrica Lorentziana ${\displaystyle \eta _{ab}}$ signature ${\displaystyle (1,3)}$. Introduza índices de espinor de 2 componentes ${\displaystyle A=0,1;\;A'=0',1',}$ e defina

${\displaystyle x^{AA'}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}t-z&x+iy\\x-iy&t+z\end{pmatrix}}.}$

O espaço twistor não projetivo ${\displaystyle \mathbb {T} }$ é um espaço vetorial complexo quadridimensional com coordenadas denotadas por ${\displaystyle Z^{\alpha }=\left(\omega ^{A},\,\pi _{A'}\right)}$ onde ${\displaystyle \omega ^{A}}$ e ${\displaystyle \pi _{A'}}$ são dois espinores de Weyl constantes. A forma hermitiana pode ser expressa definindo uma conjugação complexa de ${\displaystyle \mathbb {T} }$ para seu dual ${\displaystyle \mathbb {T} ^{*}}$ by ${\displaystyle {\bar {Z}}_{\alpha }=\left({\bar {\pi }}_{A},\,{\bar {\omega }}^{A'}\right)}$ de modo que a forma hermitiana pode ser expressa como

${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}.}$

Isso junto com a forma de volume holomórfico, ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }Z^{\alpha }dZ^{\beta }\wedge dZ^{\gamma }\wedge dZ^{\delta }}$ é invariante sob o grupo SU (2,2), uma cobertura quádrupla do grupo conformado C (1,3) do espaço-tempo de Minkowski compactado.

Os pontos no espaço de Minkowski estão relacionados a subespaços do espaço de twistores por meio da relação de incidência

${\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.}$

A relação de incidência é preservada sob um redimensionamento geral do twistor, então geralmente trabalha-se no espaço do twistor projetivo ${\displaystyle \mathbb {PT} ,}$ que é isomórfico como uma variedade complexa para ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$. Um ponto ${\displaystyle x\in M}$assim, determina uma linha ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$no ${\displaystyle \mathbb {PT} }$ parametrizado por ${\displaystyle \pi _{A'}.}$ Um twistor ${\displaystyle Z^{\alpha }}$ é mais fácil de entender no espaço-tempo para valores complexos das coordenadas, onde define um plano duplo totalmente nulo que é autodual. Seja ${\displaystyle x}$ real, então se${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}$ desaparece, então ${\displaystyle x}$ encontra-se em um raio de luz, enquanto se ${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}$ não desaparece, não há soluções e, de fato, ${\displaystyle Z^{\alpha }}$ corresponde a uma partícula sem massa com spin que não está localizada no espaço-tempo real.

Supertwistores são uma extensão supersimétrica de twistors introduzida por Alan Ferber em 1978.[7] O espaço do twistor não projetivo é estendido por coordenadas fermiônicas onde ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ é o número de supersimetrias de modo que um twistor agora é dado por ${\displaystyle \left(\omega ^{A},\,\pi _{A'},\,\eta ^{i}\right),i=1,\ldots ,{\mathcal {N}}}$ com ${\displaystyle \eta ^{i}}$ anticommutação. O grupo superconformal ${\displaystyle SU(2,2|{\mathcal {N}})}$ age naturalmente neste espaço e uma versão supersimétrica da transformada de Penrose leva classes de cohomologia no espaço do supertwistor para multipletos supersimétricos sem massa no super espaço de Minkowski. O caso ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ fornece a meta de corda twistor original de Penrose e o caso ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$ é aquele para a generalização da supergravidade de Skinner.[8]

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