Variáveis aleatórias independentes

Em Estatística, nomeadamente em Probabilidades, duas variáveis aleatórias são independentes quando a ocorrência duma não é influenciada pela ocorrência da outra.

Formalmente, duas variáveis aleatórias X e Y são independentes se e só se verificarem a seguinte propriedade:

P(X=x\land Y=y)=P(X=x)P(Y=y)

ou seja, se a probabilidade de ocorrência simultânea de X e Y for igual ao produto das respectivas probabilidades individuais.

Sendo $f$ a função de probabilidade, a propriedade acima traduz-se por

$f(X,Y)=f_{X}(X)f_{Y}(Y)\,$

em que $f(X,Y)$ denota a função de probabilidade conjunta de X e Y.

Propriedades

Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes.

$P(X|Y)=P(X)\,$

Esta propriedade exprime formalmente a noção intuitiva de independência entre duas variáveis aleatórias e demonstra-se a partir da definição de probabilidade condicionada.

$\operatorname {cov} (X,Y)=0$

A independência de duas variáveis reflecte-se no valor da sua covariância.

$E(XY)=E(X)E(Y)\,$

Bibliografia

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