Vetor tangente

Sendo ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ uma curva suave paramétrica., o vetor tangente é dado por ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }(t)}$, onde usamos um risco em vez do ponto usual para indicar diferenciação em relação ao parâmetro t . [1] O vetor tangente unitário é dado por

${\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} ^{\prime }(t)}{|\mathbf {r} ^{\prime }(t)|}}\,.}$

Dada a curva

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\{(1+t^{2},e^{2t},\cos {t})|\ t\in \mathbb {R} \}}$

no ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, o vetor tangente unitário em ${\displaystyle t=0}$ é dado por

${\displaystyle \mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} ^{\prime }(0)}{\|\mathbf {r} ^{\prime }(0)\|}}=\left.{\frac {(2t,2e^{2t},\ -\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.}$

Se ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ é dado parametricamente no sistema de coordenadas n-dimensionais xⁱ (aqui, usamos sobrescritos como um índice em vez do habitual) ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\ldots ,x^{n}(t))}$ ou

${\displaystyle \mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),\quad a\leq t\leq b\,,}$

então o campo vetorial tangente ${\displaystyle \mathbf {T} =T^{i}}$ é dado por

${\displaystyle T^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\,.}$

Sob uma mudança de coordenadas

${\displaystyle u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}),\quad 1\leq i\leq n}$

o vetor tangente ${\displaystyle {\bar {\mathbf {T} }}={\bar {T}}^{i}}$ no sistema de coordenadas uⁱ é dado por

${\displaystyle {\bar {T}}^{i}={\frac {du^{i}}{dt}}={\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}}$

onde usamos a convenção de somatório de Einstein . Assim, um vetor tangente de uma curva suave será transformado como um tensor contravariante de ordem um sob uma mudança de coordenadas. [2]