Conjuntos bem separados

Seja ${\displaystyle \left(\mathbb {S} ,d\right)}$ um espaço métrico, define-se a distância entre dois subconjuntos ${\displaystyle A\,}$ e ${\displaystyle B\,}$ não-vazios de ${\displaystyle S\,}$ como o ínfimo das distâncias entre um ponto do conjunto ${\displaystyle A\,}$ e um ponto do conjunto ${\displaystyle B\,}$:

${\displaystyle {\hbox{dist}}(A,B):=\inf \left\{d(x,y):x\in A,~y\in B\right\}\,}$

Se ${\displaystyle {\hbox{dist}}(A,B)>0\,}$ então diz-se que ${\displaystyle A\,}$ e ${\displaystyle B\,}$ são conjuntos bem separados.

Seja ${\displaystyle A\,}$ e ${\displaystyle B\,}$ conjuntos bem separados em um espaço métrico ${\displaystyle (\mathbb {S} ,d)\,}$. Seja ainda:

${\displaystyle \delta$ :={\frac {1}{3}}{\hbox{dist}}(A,B)>0\,}

Defina os conjuntos abertos:

${\displaystyle O_{A}=\bigcup _{x\in A}B(x,\delta )\,}$

${\displaystyle O_{B}=\bigcup _{x\in B}B(x,\delta )\,}$

onde ${\displaystyle B(x,\delta )\,}$ é a bola de centro ${\displaystyle x\,}$ e raio ${\displaystyle \delta \,}$ definida como:

${\displaystyle B(x,\delta )=\{y\in \mathbb {S}$ :{\hbox{d}}(x,y)<\delta \}\,}

É fácil ver que ${\displaystyle O_{A}\,}$ e ${\displaystyle O_{B}\,}$ são disjuntos e ainda que ${\displaystyle A\subseteq O_{A}\,}$ e ${\displaystyle B\subseteq O_{B}\,}$.

• Se ${\displaystyle A\,}$ e ${\displaystyle B\,}$ são disjuntos, e ${\displaystyle A\,}$ é compacto e ${\displaystyle B\,}$ é fechado, então ${\displaystyle A\,}$ e ${\displaystyle B\,}$ são bem separados.

• ${\displaystyle A\cap B\neq \emptyset \,}$ então ${\displaystyle A\,}$ e ${\displaystyle B\,}$ não são bem separados.

• Sejam ${\displaystyle A\,}$ e ${\displaystyle B\,}$ dois conjuntos bem separados em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$ então:

${\displaystyle \mu ^{*}(A\cup B)=\mu ^{*}(A)+\mu ^{*}(B)\,}$, onde ${\displaystyle \mu ^{*}\,}$ é medida exterior de Lebesgue.