Derivada de Fréchet

Sejam ${\displaystyle \mathbb {X} \,}$ e ${\displaystyle \mathbb {Y} \,}$ espaços de Banach. Seja ${\displaystyle f:D\to \mathbb {Y} \,}$ uma função definida em ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {X} \,}$. Seja ainda ${\displaystyle x_{0}\,}$ um ponto do interior do domínio ${\displaystyle D\,}$. Diz-se que ${\displaystyle f\,}$ é diferenciável em ${\displaystyle x_{0}\,}$ sempre que existe um operador linear limitado ${\displaystyle A\,}$ tal que:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\left\|f(x_{0}+h)-f(x_{0})-Ah\right\|_{\mathbb {Y} }}{\left\|h\right\|_{\mathbb {X} }}}=0}$