Espaço de Banach

Sejam ${\displaystyle M}$ um conjunto não-vazio e ${\displaystyle d}$ uma métrica em ${\displaystyle M}$, dizemos que o par (${\displaystyle M}$, ${\displaystyle d}$) é um espaço métrico.

Seja ${\displaystyle E}$ um espaço vectorial sobre um corpo e ${\displaystyle \|.\|}$ uma norma de ${\displaystyle E}$. O par (${\displaystyle E}$, ${\displaystyle \|.\|}$ ) é um espaço vetorial normado.

• Um espaço normado (${\displaystyle E}$, ${\displaystyle \|.\|}$) pode ser considerado um espaço métrico (${\displaystyle E}$, ${\displaystyle d}$), basta definir a seguinte métrica

${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$, para todo ${\displaystyle \ x,\ y\in E}$.

De fato, os axiomas da métrica são satisfeitos. Assim, para todo ${\displaystyle \ x,\ y,\ z\in E}$, resulta:

•${\displaystyle d(x,x)=\|x-x\|=\|0\|=0}$; •Se ${\displaystyle x\neq y}$ e ${\displaystyle x>y}$, então ${\displaystyle \|x-y\|=x-y>0}$, ${\displaystyle d(x,y)>0}$.

Para o caso de ${\displaystyle x<y}$, temos: ${\displaystyle \|x-y\|=-(x-y)=y-x>0}$;

•${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|=\|(-1)(y-x)\|=|-1|.\|y-x\|=|1|.\|y-x\|=\|y-x\|=d(y,x)}$;

•${\displaystyle d(x,z)=\|x-z\|=\|x+(-y+y)-z\|=\|(x-y)+(y-z)\|\leq \|x-y\|+\|y-z\|}$.

Assim, todo espaço normado (${\displaystyle E}$, ${\displaystyle \|.\|}$) é um espaço métrico (${\displaystyle E}$, ${\displaystyle d}$), com ${\displaystyle d}$ sendo a métrica induzida pela norma ${\displaystyle \|.\|}$. De modo particular, todo espaço normado é um espaço topológico.

• É possível mostrar também que se ${\displaystyle E}$ é um espaço vetorial sobre os reais, munido de uma métrica ${\displaystyle d}$, essa métrica é induzida por uma norma se, e somente se, satisfaz:
  1. ${\textstyle d(\lambda x,\lambda y)=\vert \lambda \vert d(x,y),\;\forall \lambda \in \mathbb {R}$ ;\;\forall x,y\in E;}
  2. ${\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y),\;\forall x,y,z\in E.}$

Uma sequência ${\displaystyle (x_{n})}$ em um espaço métrico ${\displaystyle M}$ chama-se uma sequência de Cauchy quando, para todo ${\displaystyle \epsilon >0}$ dado, existe ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle m,n>n_{0}}$ implica ${\displaystyle d(x_{m},x_{n})<\epsilon }$.

Intuitivamente, à medida que o índice ${\displaystyle n}$ cresce, os termos da sequência de Cauchy se tornam mais próximos.

• Toda sequência convergente é de Cauchy.
• Toda sequência de Cauchy é limitada.

Um espaço métrico ${\displaystyle M}$ é completo quando toda sequência de Cauchy em ${\displaystyle M}$ é convergente em ${\displaystyle M}$.

• Para mostrar que um espaço métrico ${\displaystyle M}$ não é completo, basta mostrar que existe uma sequência de Cauchy em ${\displaystyle M}$ que não seja convergente.
• O espaço métrico ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ não é completo. Basta tomar uma sequência de números racionais ${\displaystyle (x_{n})}$ convergindo para um número irracional ${\displaystyle a}$. Por exemplo, ${\displaystyle x_{1}=1;x_{2}=1,4;x_{3}=1,41;x_{4}=1,414...,}$ com ${\displaystyle \lim x_{n}={\sqrt {2}}}$. Assim, ${\displaystyle (x_{n})}$ é uma sequência de Cauchy no espaço métrico ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, mas não é convergente em ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Dados ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,\;p,q\in (1,+\infty )}$ tais que ${\displaystyle a,b>0{\text{ e }}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ (dizemos que ${\displaystyle p{\text{ e }}q}$ são conjugados de Hölder)¨, vale a desigualdade:

${\displaystyle ab\leqslant {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.}$

Dados ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}),\;y=(y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\;p,q\in (1,+\infty )}$ conjugados de Hölder, vale a desigualdade:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\vert x_{i}y_{i}\vert \leqslant \left(\sum _{i=1}^{n}\vert x_{i}\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{i=1}^{n}\vert y_{i}\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Se definimos um produto coordenada a coordenada em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ da forma ${\displaystyle xy=(x_{1}y_{1},x_{2}y_{2},\cdots ,x_{n}y_{n})}$, podemos reescrever a desigualdade como:

${\displaystyle \Vert xy\Vert _{1}\leqslant \Vert x\Vert _{p}\Vert y\Vert _{q}.}$

Dados ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ e }}p\in (1,+\infty )}$, vale a desigualdade:

${\displaystyle \Vert x+y\Vert _{p}\leqslant \Vert x\Vert _{p}+\Vert y\Vert _{p}.}$

Vendo que os espaços ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ das n-uplas de números reais são espaços de Banach, queremos estender a definição de norma nesses espaços para o conjunto das sequências a fim de torná-las também em espaços de Banach.

Tomemos então ${\displaystyle p\in [1,+\infty )}$, e definamos o conjunto

${\displaystyle \ell ^{p}=\left\{x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\left|\;\sum _{i=1}^{\infty }\vert x_{i}\vert ^{p}<+\infty \right.\right\}}$, munido das operações de soma e produto por escalar coordenada a coordenada.

Podemos verificar que esse espaço é de fato um espaço vetorial com essas operações, e definindo a norma

${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{\infty }\vert x_{i}\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$

é possível verificar que ${\displaystyle (\ell ^{p},\Vert \cdot \Vert _{p})}$ é um espaço de Banach.

Tomando novamente o espaço das sequências de números reais, definindo

${\displaystyle \ell ^{\infty }=\left\{x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }:(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }{\text{ é limitada }}\right\}}$

e tomando a norma ${\displaystyle \Vert x\Vert _{\infty }=\sup _{i\in \mathbb {N} }\vert x_{i}\vert }$, temos que ${\displaystyle (\ell ^{\infty },\Vert \cdot \Vert _{\infty })}$ é espaço de Banach.

Definindo os subconjuntos de ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

${\displaystyle c=\{x\in \ell ^{\infty }:x{\text{ é convergente}}\}}$;

${\displaystyle c_{0}=\{x\in \ell ^{\infty }:x{\text{ é convergente a }}0\}}$;

${\displaystyle c_{00}=\{x\in \ell ^{\infty }:x{\text{ é eventualmente nula}}\}}$.

Vemos que ${\displaystyle c_{00}\subseteq c_{0}\subseteq c\subseteq \ell ^{\infty }}$, sendo cada um deles subespaço do espaço que o contém. Desses espaços, ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle c_{0}}$ são espaços de Banach, com a norma herdada de ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$.

O espaço vetorial normado ${\displaystyle c_{00}}$ não é de Banach, pois não é completo. De fato, tome a sequência em ${\displaystyle c_{00}}$:

• ${\displaystyle x_{1}=(1,0,0,0,\cdots )}$
• ${\displaystyle x_{2}=\left(1,{\frac {1}{2}},0,0,\cdots \right)}$
• ${\displaystyle x_{3}=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},0,0,\cdots \right)}$
• ${\displaystyle \vdots }$
• ${\displaystyle x_{k}=\left(1,{\frac {1}{2}},\cdots ,{\frac {1}{k}},0,0,\cdots \right)}$.

Verificamos que ${\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ é convergente a ${\displaystyle x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\cdots ,{\frac {1}{k}},{\frac {1}{k+1}},\cdots \right)\in \ell ^{\infty }}$, mas ${\displaystyle x\notin c_{00}}$.

Dados espaços normados ${\displaystyle X,Y}$, uma transformação ${\displaystyle T:X\to Y}$ é:

• linear, se ${\displaystyle T(\lambda x_{1}+x_{2})=\lambda T(x_{1})+T(x_{2}),\;\forall \lambda \in \mathbb {R} ,\;\forall x_{1},x_{2}\in X.}$
• contínua em ${\displaystyle x_{0}}$, se ${\displaystyle \forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\text{ em }}X,{\text{ com }}x_{n}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\;x_{0},{\text{ temos que }}T(x_{n}){\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\;T(x_{0})}$.
• contínua, se ${\displaystyle T}$ for contínua em todo ${\displaystyle x_{0}\in X}$.
• limitada, se ${\displaystyle \exists \;C>0{\text{ tal que }}\Vert T(x)\Vert \leq C\Vert x\Vert ,\;\forall x\in X.}$

É possível mostrar que são equivalentes:

1. ${\displaystyle T}$ é contínua.
2. ${\displaystyle T}$ é contínua no ${\displaystyle 0_{X}}$.
3. ${\displaystyle T}$ é limitada.
4. ${\displaystyle T}$ leva conjuntos limitados em conjuntos limitados.

Definindo o conjunto ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)=\{T:x\to Y\;\vert \;T{\text{ linear e limitada}}\}}$ e a norma ${\displaystyle \Vert T\Vert =\sup _{x\in B_{X}}\Vert T(x)\Vert }$, onde ${\displaystyle B_{X}=\{x\in X:\Vert x\Vert \leq 1\}}$, ${\displaystyle ({\mathcal {L}}(X,Y),\Vert \cdot \Vert )}$ é um espaço de Banach, contanto que ${\displaystyle Y}$ seja de Banach.