Equação do quarto grau

O teorema fundamental da álgebra garante que uma equação quártica sempre terá quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas, no conjunto dos números complexos.

As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari.

Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:

$${\displaystyle x^{4}+px^{2}+q=rx}$$

Nota-se que a equação geral ${\displaystyle az^{4}+bz^{3}+cz^{2}+dz+e=0}$ pode ser reduzida a este caso através da transformação ${\displaystyle z=x-{\frac {b}{4a}},}$ e dividindo a equação resultante por ${\displaystyle a}$.

Ao dividirmos a equação por ${\displaystyle a}$, a equação terá a forma ${\displaystyle z^{4}+Az^{3}+Bz^{2}+Cz+D=0}$, onde ${\displaystyle A={\frac {b}{a}}}$, ${\displaystyle B={\frac {c}{a}}}$, ${\displaystyle C={\frac {d}{a}}}$ e ${\displaystyle D={\frac {e}{a}}}$[1]. Ao realizar a substituição ${\displaystyle z=x-{\frac {B}{4}}}$ a equação assumirá a forma reduzida ${\displaystyle x^{4}+px^{2}+q=rx}$, onde[1]

${\displaystyle p=B-{\frac {3}{8}}A^{2}}$

${\displaystyle r=-{\frac {1}{8}}A^{3}+{\frac {1}{2}}AB-C}$

${\displaystyle q=-{\frac {3}{256}}A^{4}+{\frac {1}{16}}A^{2}B-{\frac {1}{4}}AC+D}$

A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual ${\displaystyle (x^{2}+A)^{2}-(Bx+C)^{2}=0,}$ cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de equações do segundo grau.

No primeiro passo, o primeiro membro da equação, ${\displaystyle x^{4}+px^{2}+q,}$ é transformado no quadrado baseado em ${\displaystyle x^{4}+q,}$ ou seja, ${\displaystyle x^{4}+2{\sqrt {q}}x^{2}+q:}$

$${\displaystyle x^{4}+q=rx-px^{2}}$$

$${\displaystyle x^{4}+2{\sqrt {q}}x^{2}+q=(2{\sqrt {q}}-p)x^{2}+rx}$$

$${\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}=rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}}$$

Em seguida, somam-se termos em uma nova variável ${\displaystyle y,}$ porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar ${\displaystyle y^{2},}$ devemos somar também ${\displaystyle 2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}}),}$ ou seja:

$${\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}+2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}})+y^{2}=rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}+2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}})+y^{2}}$$

Reescrevendo:

$${\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}=(2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2}}$$

O segundo membro da equação pode ser reescrito como ${\displaystyle (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (x-x_{+})\cdot (x-x_{-}),}$ onde ${\displaystyle x_{+}}$ e ${\displaystyle x_{-}}$ são soluções da equação quadrática

${\displaystyle (2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2}=0,}$ ou seja, ${\displaystyle x={\dfrac {-r\pm {\sqrt {r^{2}-4\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (2y{\sqrt {q}}+y^{2})}}}{2\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)}}}$

Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que ${\displaystyle (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (x-x_{+})\cdot (x-x_{-})}$ seja um quadrado, então escreveremos que ${\displaystyle x_{+}=x_{-},}$ que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula.

Em outras palavras, isto requer:

$${\displaystyle r^{2}-4\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (2y{\sqrt {q}}+y^{2})=0}$$

que, expandido, gera a equação do terceiro grau auxiliar:

$${\displaystyle 8y^{3}+(24{\sqrt {q}}-4p)y^{2}+(16q-8p{\sqrt {q}})y-r^{2}=0,}$$

onde apenas uma raiz ${\displaystyle y_{1}}$ é necessária (recomenda-se utilizar uma raiz real). Quando ${\displaystyle r\neq 0}$, a equação sempre irá possuir uma raiz real positiva[1].

Retomando o cálculo da incógnita ${\displaystyle x,}$ temos que ${\displaystyle x_{+}=x_{-}=-{\dfrac {r}{2\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)}}}$

Com isso a equação ${\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}=\left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)\cdot \left(x+{\dfrac {r}{2\cdot \left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)}}\right)^{2},}$ pode ser reescrita como ${\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}-\left({\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}\right)^{2}\cdot \left(x+{\dfrac {r}{2\cdot \left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)}}\right)^{2}=0,}$ ou ${\displaystyle (x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}-\left(x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}\right)^{2}=0}$

que resulta em uma diferença de dois quadrados:

${\displaystyle x^{2}+{\sqrt {q}}+y\pm \left(x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}\right)=0}$

Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes:

${\displaystyle x^{2}+x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\sqrt {q}}+y+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}=0}$

${\displaystyle x^{2}-x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\sqrt {q}}+y-{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}=0}$

• Equação polinomial

• Calculadora de equações do quarto grau