Função algébrica

Em matemática, uma função algébrica é uma função que pode ser expressa como: $P_{0}(x)y^{n}+P_{1}(x)y^{n-1}+...+P_{n-1}(x)y^{1}+P_{n}(x)y^{0}=0$ .[1]

Frequentemente as funções algébricas são expressões algébricas com um número finito de termos, envolvendo apenas as operações algébricas de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação com um expoente fracionário.[2]

$Func{\tilde {o}}es\ Alg{\acute {e}}bricas\quad {\begin{cases}Explicitas\ {\begin{cases}Racionais\ {\begin{cases}Inteiras\\Fracion{\acute {a}}rias\\\end{cases}}\\Irracionais\\\end{cases}}\\Implicitas\end{cases}}$

Exemplos

$f(x)={\frac {1}{x}}$
$f(x)={\sqrt {x}}$
$f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}x^{1/3}}}$

Algumas funções algébricas, no entanto, não podem ser expressas por tais expressões finitas (este é o teorema de Abel–Ruffini). Este é o caso, por exemplo, do radical de Bring, que é a função definida implicitamente por:

f(x)^{5}+f(x)+x=0.

Em termos mais precisos, uma função algébrica de grau $n$ em uma variável $x$ é uma função $y=f(x),$ que é contínua em seu domínio e satisfaz uma equação polinomial:

a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0

em que os coeficientes $a i (x)$ são funções polinomiais de $x$ , com coeficientes inteiros[2].

O valor de uma função algébrica em um número racional, e mais geralmente, em um número algébrico é sempre um número algébrico.

Algumas vezes, são considerados coeficientes $a_{i}(x)$ que são polinômios sobre um anel $R$ , e fala-se sobre "funções algébricas sobre $R$ ".

Uma função que não é algébrica é chamada de função transcendental, como é o caso, por exemplo, de $\exp(x),\tan(x),\ln(x),\Gamma (x).$

Uma composição de funções transcendentais pode resultar em uma função algébrica: $f(x)=\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}.$

Referências

«Definição precisa da noção de função algébrica». ltodi.est.ips.pt. Consultado em 30 de março de 2019
«Funções Algébricas e Transcendentes». www.dca.fee.unicamp.br. Consultado em 30 de março de 2019

Ligações externas

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[1] «Definição precisa da noção de função algébrica». ltodi.est.ips.pt. Consultado em 30 de março de 2019

[Não_nomeado-xsOT-1-2] «Funções Algébricas e Transcendentes». www.dca.fee.unicamp.br. Consultado em 30 de março de 2019